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第一节随机抽样考试要求了解简单随机抽样和分层随机抽样的必要性，掌握分层随机抽样的样本平均数，知道获取数据的基本途径.----------一^必备知识回顾教材重“四基一一------------------•
一、教材概念•结论•性质重现
1.简单随机抽样⑴定义一般地，设一个总体含有为正整数）个个体，从中逐个抽取〃〈心个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做数回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相筐，我们把这样的抽样方法叫做丕放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.⑵最常用的简单随机抽样方法有两种一一抽签法和随机数法.⑶应用范围总体个体数较少.
2.分层随机抽样一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样至，这样的抽样方法称为分层随机抽样.⑴每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.⑵如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为和/V,抽取的样本量分别为m和〃，则2层的样本平均数分别为后夕，2层的总体平均数分别为£P,总体平均数为W,样本平均数为刃.则刃=-元+/_,，w=J^x+—Y.m+nM+N M+N-m+n-⑶在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数刃估计总体平均数微提醒■■■■两种抽样方法的特点、联系及适用范围简单随机抽样分层随机抽样类别共同点抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等将总体分成几层，分层进行抽各自特点从总体中逐个抽取取各层抽样时，采用简单随机抽联系—样「1333nC/•一,u■,5101010A解析在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的.因为总体容量为10,所以个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为已故选A.
10.（2023•烟台模拟）高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛的平均成绩分别为80分和90分，则⑴高
一、高二年级抽取的样本量分别为；⑵高
一、高二年级数学竞赛的平均分约为分.
（1）90,70
（2）
84.375解析
（1）由题意可得高一年级抽取的样本量为/咨160=90,450+350高二年级抽取的样本量为肃160=
70.*U IDU⑵高
一、高二年级数学竞赛的平均分约为赢X80+赢X90=
84.375（分）.
11.某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况,按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为
170.2cm,抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为
162.0cm,则该校高一年级学生的平均身高的估计值为cm.
166.4解析由题意可知，x=
170.2,y=
162.0,且=320,/V=
280.所以样本平均数列=—%+—320X
170.2+x
162.0^
166.4（cm）,故该校高一年级学生的平均M+N M+N，320+28028320+280身高的估计值为
166.4cm.
12.某地有第
一、第
二、第三共三支射击队，人数分别为30,30,
40.为了检测队员的射击水平，用分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个射击队参加射击比赛的平均环数分别为8环、
8.5环、
8.1环.试估计该地射击队员的平均射击环数.解队员总数为30+30+40=100（人），按比例分配，知第一队参加考核的人数为喘X30=9；第二队参加考核的人数为瑞X30=9；100第三队参加考核的人数为患X30=
12.100所以参加考核的30人的平均射击环数为卷X
8.8+^X
8.5+||x
8.1=
8.
43.所以估计该地射击队员的平均射击水平为
8.43环.适用范围总体个数较少总体由差异明显的几部分组成
二、基本技能•思想•活动经验
1.判断下列说法的正误，对的画“「，错的画“X”.⑴简单随机抽样的每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.（X）⑵在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.（X）⑶在分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.（X）
2.现有以下两项调查
①从10台冰箱中抽取3台进行质量检查;
②某社区有600户家庭,其中高收入家庭180户，中等收入家庭360户，低收入家庭60户，为了调查家庭购买力的某项指标，拟抽取一个容量为30的样本.则完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（）A.
①②都采用简单随机抽样B.
①②都采用分层随机抽样C.
①采用简单随机抽样，
②采用分层随机抽样D.
①采用分层随机抽样，
②采用简单随机抽样C解析对于
①，“从10台冰箱中抽取3台进行质量检查”，总体容量比较少，应采用简单随机抽样法；对于
②，总体容量较多，且样本差异比较明显，应采用分层随机抽样法.
3.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（）A.总体B.个体C.样本量D.从总体中抽取的一个样本A解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本量是
200.
4.某学校高二年级选择“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和
60.若采用分层随机抽样的方法从中随机抽取12名学生，则从“史政生”组合中抽取的学生人数为（）A.7B.6C.3D.2C解析由题意可知，“史政地”“史政生”和“史地生”这三种组合的学生人数分别为210,90和60,故“史政生”所占的比例为力由于分层随机抽样是按比例抽取,210+904-604可得“史政生”组合中抽取的学生人数为12xi=
3.
45.下列情况适合用全面调查的是（）A.了解一批玉米种子的发芽率B.了解某城市居民的食品消费结构C.调查一个县各村的粮食播种面积D.调查一条河的水质C解析A.了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B.了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C.调查一个县各村的粮食播种面积适合全面调查，故符合题意；D.调查一条河的水质适合抽样调查，故不符合题意.故选C.
6.某班60名同学中选出4人参加户外活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01,02,…，60进行编号，然后从随机数表第1行的第5列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第4个同学的编号为（）0347437386369647366146986371629774246292428114572042533237321676（注表中的数据为随机数表的第1行和第2行）A.24B.36C.46D.47C解析由题知从随机数表的第1行的第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43,36,47,46,故选出的第4个同学的编号为
46.
7.要完成下列三项调查
①某商城从10台同款平板电脑中抽取4台作为商城促销的奖品;
②某市从老、中、青三代市民中抽取100人调查他们网络购物的情况.适合采用的抽样方法依次为.
①抽签法；
②分层随机抽样解析对于
①，所收集的数据没有明显差异，且数量较少，应用抽签法；对于
②，所收集的数据差异明显，应用分层随机抽样.-------------、关键能力研析考点强“四翼”万一------------•考点1统计中的基本概念、数据获取一一基础性「多维训练」
1.为了了解某省高考数学考试的情况，抽取2000名考生的数学试卷进行分析，2000叫作（）A.个体B.样本C.样本量D.总体C解析2000是个数字，没有单位，由样本量的定义可知2000是样本量.故选C.
2.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的考试成绩，就这个问题来说，下面说法正确的是（）A.1000名学生是总体B.每个学生是个体C.1000名学生的考试成绩是一个个体D.样本量是100D解析根据题意得，本题的总体、个体与样本考查的对象都是学生成绩，而不是学生，选项A,B表达的对象都是学生，不是成绩，A,B都错误；C中1000名学生的成绩是总体，不是个体，所以C错误；D中样本量是100,所以D正确.解题通法概念不清致误⑴区分总体、总体容量总体由全部研究对象组成，由研究对象决定；总体容量是总体样本的个数.⑵区分个体、样本、样本量个体是指考查对象，样本是抽取的个体，样本量是指抽取的样本个数.考点2简单随机抽样及其应用一一综合性「典例引领」例
（1）下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为（）
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.A.0B.1C.2D.3A解析
①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；
②不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；
③不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样.故选A.解题通法简单随机抽样适合总体中个数较少,注意随机抽样不是随意或随便抽取，随意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素.⑵总体由编号为01,02,03,…，50的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行93124779573789184550399455736111609849657350984730309837若从表中第6行的第6列数字开始向右依次读取,则抽取的第3个个体的编号是（）A.09B.03C.35D.372310447691460679266220620522B解析利用随机数表从第6行第6列开始向右读取，依次为09,84（舍弃），96（舍弃）,57（舍弃），35,09（重复，舍弃），84（舍弃），73（舍弃），03,所以抽取的第3个个体的编号是
03.解题通法在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，将超过总体号码或出现重复号码的数字舍弃.多维训练」某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,…，599,600,从中抽取60个样本，现提供随机数表的第4行到第6行:32211834297864540732524206443812234356773578905642第4行:84421253313457860736253007328623457889072368960804第5行:32567808436789535577348994837522535578324577892345第6行:若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第7个样本编号为（）A.522B.324C.535D.578B解析第6行第6列的数开始的数为808（舍弃），436,789（舍弃），535,577,348,994（舍弃），837（舍弃）,522,535（重复舍弃），578,
324.所以抽取的7个编号为436,535,577,348,522,578,
324.即第7个样本编号为
324.考点3分层随机抽样一一综合性「典例引领」考向1求总体或样本量例❷*
（1）近年来，很多学生因为不科学使用电子产品的缘故其视力受到了很大的伤害，中小学生的近视率也呈明显的上升趋势.某区为了了解中小学生的视力健康状况，决定从城区的几所学校随机抽取一个样本进行调查.已知这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为567,现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为〃的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50,则〃=（）A.250B.300C.800D.900D解析这几所学校的小学生、初中生、高中生的人数比为567,现用分层随机抽样的方法抽取一个样本量为〃的样本，样本中初中生的人数比小学生人数多50,“二加则从一然川—）=53解得〃=900•故选D.\5k4-6k+7/c5k4-6k4-7k/4_
（2）（2022•宝鸡模拟）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人,这三面要征调300人,而北面共征调108人（用分层随机抽样的方法），则北面共有（）A.8000人B.8100人C.8200人D.8300人-二B解析设北面人数为x,根据题意知，=黑，解得矛=8100,所以北面共X+7488+6912300有8100人.故选B.考向2分层随机抽样的均值例❸*某市的3个区共有高中学生20000人，且3个区的高中学生人数之比为
235.现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况.⑴试写出抽样过程；⑵若样本中3个区的高中学生的平均视力分别为
4.8,
4.8,
4.6,试估计该市高中学生的平均视力.解（D
①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层随机抽样法抽取样本.
②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是235,所以抽取的学生人数分别是200X三==40,200X5左=60,200X^^=
100.
③在各层分别按简N Di乙,1J TNO T单随机抽样法抽取样本.
④综合每层抽样，组成容量为200的样本.⑵样本中高中学生的平均视力为获X
4.8+^X
4.8+黑X
4.6=
4.
7.所以估计该市高中学生的平均视力约为
4.
7.解题通法分层随机抽样均值的计算如果总体的层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为必，必抽取的样本量分别为勿,n,若2层的样本平均数分别为后y,2层的总体平均数分别为N,P,总体平均数为W,样本平均数为丽则“色£+焉小卬=岛》+岛上「多维训练」某校高二年级“化生史”组合只有2个班，且每班50人.在一次数学测试中，从两个班抽取了20名学生的数学成绩进行分析，统计得在该次测试中，两班中各抽取的20名学生的平均成绩分别为110分和106分,则该组合学生的平均成绩约为分.108解析样本中40名学生的平均分为,义110+^X106=108（分），所以估计该组合学4040生的平均分为108分.课时质量评价
（五十三）A组全考点巩固练
1.已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层随机抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（）A.2B.4C.6D.8B解析抽取的女职工人数为拦义28=12,抽取的男职工人数为28—12=16,则抽取的男560职工人数与抽取的女职工人数之差为16-12=
4.故选B.
2.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的A.12身高都处在A,B,C,D,E五个层次内.根据抽样结果得到统计图表，则样本中B层人数是女生身高情况条形图男生身高情况扇形图C.32D解析样本中，女生人数为9+24+15+9+3=60,男生人数为100—60=40,故样本中B层人数为24+40X30%=
36.
3.在某种疫苗试验初期，某居民区有5000人自愿接种了此种疫苗，其中6070岁的老年人有〜1400人，1619岁的中学生有400人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民.在一项接种〜疫苗的追踪调查中，要用分层随机抽样的方法从该居民区5000名接种疫苗的人群中抽取部分人作为样本进行追踪调查.已知老年人中抽取了14人，则从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为（）A.14B.18C.32D.50C解析设从其余符合接种条件的其它年龄段的居民中抽取的人数为必由分层随机抽样的性质得:14_X解得X=
32.14005000-1400-400所以从其余符合接种条件的其他年龄段的居民中抽取的人数为32•故选C.
4.（多选题）某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为253,现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为〃的样本，样本中A型号产品有16件，则（）A.此样本量〃为20B.此样本量〃为80C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件BC解析工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为253,现用分层随机抽样法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件.设样本量为n,则n=16+必勺皿—二名一=80,故A错误，B正确；样本中B型号产品有80X=40件,故C2k+5k4-3k2k+5k+3k正确，D错误.故选BC.
5.某校3个兴趣小组的学生人数分布如表（每名学生只参加一个小组）（单位人）:篮球组书画组乐器组高一4530X高二151020已知用分层随机抽样的方法从参加这三个兴趣小组的学生中共抽取30人，其中篮球组被抽出12人，则x的值为.12_30解得X=
30.454-15120+%30解析根据分层随机抽样的定义和方法可得,
6.从某单位45名职工中随机抽取6名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这6名职工.选取方法是先将45名职工编号，分别为01,02,03,…，45,然后从下面的随机数表第一行的第5列的数字7开始由左到右依次选取两个数字，从而确定6个个体的编号,则选出的第6个职工的编号为.1622779439495443548217379323788735209643844217533157245506887704744767217633502535解析选出的6个个体的编号分别为39,43,17,37,23,35,则选出的第6个职工的编号为
35.B组新高考培优练
7.（多选题）分层随机抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱.甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税.问三人各应付多少税？下列说法正确的是（）A.甲应付51击钱
8.乙应付32益钱C.丙应付16焉钱109D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少ACD解析依题意，由分层随机抽样可知，100+（560+350+180）=也，则甲应付型X560109109=5端（钱）乙应付益X350=32得（钱）；丙应付盖X180=16瑞（钱）.结合选项知A,C,D正确，B错误.
8.交通管理部门为了了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为M其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A.101B.808C.1212D.2012B解析甲社区每个个体被抽到的概率为盘=；,样本量为12+21+25+43=101,所以四968个社区中驾驶员的总人数N=詈=
808.
89.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体d“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）。
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