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1.
2.4绝对值题型求一个数的绝对值题型相反数.绝对值求字母的值1:4:X/题型化简含字母的绝对值式子》—题型比较有理数的大小2:5:----------------------------------------------绝对值―--------------------------------------------题型绝对值的非负性题型绝对值的实际应用3:6:------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11绝对值,定义一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作|a|.!!注意!i(i)绝对值的代数意义一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;o的绝对值是o.即!对于任何有理数a都有a-••ok1)!!p01j
(2)绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离,1离原点的距离越远,绝对值1I越大;离原点的距离越近,绝对值越小.11i1
(3)一个有埋数是由符号和绝对值两个方面来确定的.11绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总是正数或
0.11题型1:求一个数的绝对值111晒L—2的绝对值是()111A.2B.-2C.111【答案】A1【解析】解-2的绝对值是2,1故答案为A.11D.-4【分析】根据绝对值的性质求解即可r【变式1-11分别求出一15-
0.3,0,—(—3^)的绝对值.111【答案】4,
0.3,0,3;•L Liii・・・x—3=±4,・・・x=7或x=—1,故选C.【点睛】本题考查了含有绝对值得方程,熟练掌握绝对值的意义是解答本题的关键.
3.已知一个数的绝对值是遮,则这个数是()A.V5B.-V5C.*或一遍D.无法确定【答案】C【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离,可得答案.【详解】解一个数的绝对值是遮,则这个数是土遮,故选C.【点睛】本题考查了实数的性质,互为相反数的绝对值相等是解题关键.
4.下列说法中正确的是()A.-a一定表示负数B.两个有理数比较大小,绝对值大的反而小C.如果|a-5|=4,则必定为9D.如果|a|=a,则a必定为正数或零Q【答案】D【分析】根据负数、有理数大小比较、绝对值及其非负性解决此题.【详解】解A.当a0时,—a0,故—a不一定表示负数,那么A不正确,故A不符合题意.B.|2||3],但23,得两个有理数比较大小,绝对值大的数不一定小,那么B不正确,故B不符合题意.C.根据绝对值的定义,|a-5|=4,得a=9或1,那么C不正确,故C不符合题意.D.根据绝对值的非负性,|a|=a0,即a是正数或0,那么D正确,故D符合题意.故选D.【点睛】本题考查了负数、有理数大小比较、绝对值及其非负性,熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
5.如果|一2|+网=0,那么O,b的值为()A.a=1,b=1B.a=-1,b=3C.a=2,b=0D.a=0,b=2【答案】c【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可.【详解】解〈la—2|+|b|=0,**•3—2=0,b=0,解得,a=2,b=0,故选C.【点睛】本题考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质几个非负数的和为0时.,这几个非负数都为
0.
6.若|一4|与|3+b||互为相反数,则5-+-1的结果为A.-6B.-7C.-8D.-9【答案】c【分析】根据绝对值的非负性求出a、b的值,再代入计算即可.【详解】・・・|a—4|与|3+b|互为相反数,即怙一4|+|3+用=0,・・・a-4=0,3+b=0,解得a=4,b=—3,b—a+-1=-3-4+—1=-8,故选C.【点睛】本题考查绝对值、相反数,代数式求值,解题的关键是理解相反数、绝对值的定义.
7.代数式|3%—2|+2的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】根据绝对值是非负性进行解答即可.【详解】解V|3x-2|0,・••当3x—2=0,代数式|3x—2|+2取得最小值,即|3x—2|+2取最小值
2.故选B.【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质,掌握在实数范围内,任意一个数的绝对值都是非负数是解题的关键.
二、填空题
8.化简下列各数
①+-4=;2-+6=;
③__3=;
④_|-1|=•【答案】
①—4;
②—6;
③3;
④—1【分析】根据多重复号的化简方法可解答
①②③,根据绝对值的意义可化简
④.【详解】解
①+-4=—4;
②—+6=-6;
③一-3=3;
④一|-1|=-
1.故答案为
①—4;
②—6;
③3;
④—
1.【点睛】本题考查了多重符号的化简方法和绝对值的意义,一个数前面有偶数个“一”号,结果为正,一个数前面有奇数个“一”号,结果为负,0前面无论有几个“一”号,结果都为
0.
9.实数
4、
6、C在数轴上的位置如图所示,则代数式忆-可-|+川的值等于.________]A0b ac【答案】c+b【分析】根据数轴得到b Va0Vc,即可得到a+bvO,c—a0,再去绝对值即可得到答案;【详解】解由图像可得,ba0c,/.a+b0,c-a0,•••|c—a|-|a+b|—c—a+a+b—c+b,故答案为c+b;【点睛】本题考查数轴及去绝对值,解题的关键是根据数轴判断出式子与0的关系.
10.数轴上点4表示的数是x,点8表示的数是2,则|x-2|表示44点两间的距离,若记y=I%—5|+|%+3],则y的最小值为.【答案】8【分析】进行分类,去绝对值符号,然后研究最小值.【详解】解当xW-3时,y=-X-5-x+3=-2x+2,当x=-3,y=8为最小值;当一3x V5时,y=—x—5+x+3=8,当x N5时,y=x-5+x+3=2x-2,当x=5,y=8为最小值;故y的最小值为8,故答案为:
8.【点睛】本题考查了去绝对值符号、数轴上两点间的距离,解题的关键是去绝对值符号.
11.m点和m+2的点到原点的距离相等,则m=.【答案】-1【分析】根据一个数到原点的距离可以用绝对值表示,表示数m和m+2的点到原点的距离相等可以表示为|m|=|m+2].然后,进行分类讨论,即可求出对应的m的值.【详解】由题意得|m|=|m+2|,:•m=m+2或m=—m+2,Am=-
1.故答案为-
1.【点睛】本题在根据绝对值的几何意义列出方程之后,在解方程的时候要注意分类讨论,除了同一个数的绝对值相等之外,相反数的绝对值也相等.这是一个易错题.
三、计算题
12.若||=5,\b\=3,求a+b的值【答案】8或2或一2或一8【分析】根据互为相反的两个数绝对值相等,从而将a,b的值分情况代入计算即可.【详解】解:|a|=5,=±5,V|b|=3,•••b=±3,当a=5,b=3时,a+b=8;当a=5,b=—3时,a+b=2;当a=-5,b=3时,a+b=—2;当a=-5,b=—3时,a+b=-
8.综上所得,a+b的值为8或2或一2或一
8.【点睛】本题考查了绝对值、相反数,掌握互为相反的两个数绝对值相等并分情况讨论是解题关键.
13.已知a、b、c三数在数轴上对应的点如图所示,化简|b—a|+|a|—|b—c|.a Ob c【答案】—2a+2b—c【分析】根据数轴的特点确定a、b、c的符号,大小,再根据绝对值的性质即可求解.【详解】解根据数轴特点可得,aVObc,|b||a||c|,b-a0,b—c0,|b-a|+|a|-|b-c|=b—a+—a—c—b=b—a—a—c+b=—2a+2b—c.【点睛】本题主要考查有理数与数轴的关系,绝对值的性质,掌握以上知识是解题的关键.
14.1若=5,〃的相反数是3,求〃2,〃的值;2若|a-1|+|+2|=0,求a+|-b|.【答案】1m=+5,n=—3;23【分析】1根据绝对值的定义绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离和相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数求解即可;2根据绝对值的非负性求解即可.【详解】解⑴=5,Am=±5,••.n的相反数是3,An=-3;2V|a-l|+|b+2|=0,**•3—1=0,b+2=0,解得a=1,b=—2,故a+|-b|=1+2=
3.【点睛】本题考查了绝对值的非负性和相反数的定义,准确的计算是解决本题的关键.
15.数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数的绝对值,记作|a|・数轴上表示数Q的点到表示数b的点的距离记作|a-b|,如|1-3|表示数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离,|1+3|=|1—-3|表示数轴上表示数1的点到表示数-3的点的距离,|a-2|表示数轴上表示数a的点到表示数2的点的距离.根据以上材料,解答下列问题1若—1|二|%+1|,则%=,若—1|=|%+3|,贝I」%=;2若|%-2|+|%+1|=3,则%能取到的最小值是;最大值是;3若|%-2|-|%+1|=3,则%能取到的最大值是;4关于%的式子|x—3|+|%+2]的取值范围是.【答案】10,-12-1,23一14大于等于5【分析】1根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案;2由|x-2|+|x+l|=3表示的意义,得到x的取值范围,进而得到最大值和最小值;3根据|x-2|-|x+l|=3所表示的意义明确的x的取值范围,进而求出最大值;4根据|x—3|+|x+2|的意义,求出|x—3|+|x+2|的最小值,从而确定取值范围.【详解】1|x-l|=|x+l|表示数轴上表示x的点到表示1和-1的点的距离相等,因此x=t/=
0.|x-1|=|x+3|表示数轴上表示x的点到表示1和-3的点的距离相等,因此*=当2=-
1.故答案为0,—1;2|x-2|+|x+l|=3表示数轴上表示x的点到表示2和一1的点的距离之和为3,所以一lx42,因此,x能取到的最小值为-1,最大值为
2.故答案为—L2;3|x-2|-|x+1|=3表示数轴上表示数x的点到表示数2的点的距离比它到表示-1的点的距离大3,由数轴直观可得x4-1,即X能取到的最大值为-
1.故答案为-1;4|x-3|+|x+2|表示数轴上表示x的点到表示3和-2的点的距离之和,由数轴直观可得|x-3|+|x+2|的最小值为5,因此|x—3|+|x+2|的取值范围是大于等于
5.故答案为大于等于
5.【点睛】此题考查了数轴表示数的意义,理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是解题的关键.【分析】根据绝对值表示数轴上点到原点的距离,即可进行解答.【详解】解法一因为-吟到原点距离是个单位长度,所以-因为—
0.3到原点距离是
0.3个单位长度,所以
0.3|=
0.
3.因为0到原点距离为0个单位长度,所以|0|=
0.因为—一到原点的距离是3T个单位长度,所以卜—301=3最解法二因为—1;0,所以—=—―=因为—
0.30,所以|一
0.3|=—―
0.3=
0.
3.因为0的绝对值是它本身,所以|0|=
0.因为——3;所以——30=3;.【点睛】本题主要考查了求绝对值,解题的关键是掌握绝对值表示数轴上点到原点的距离;正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是
0.题型2:化简含字母的绝对值式子丽
2.有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简\a+b\的结果正确的是•••一a0bA・a+b B.—b C.—a+b D.—bCL—CL【答案】D【解析】解根据题意,可知a+b0,**•|2+b\=—a+b=——b;CL故答案为D.【分析】先根据各点在数轴上的位置判断a+b的符号,再去绝对值符号,即可得到答案.【变式2-1]有理数x在数轴上的位置如图听示,化简|2%-2023|+|—%|=.________|____________111A01%2【答案】2023-x/-x+2023【分析】由数轴上表示x的点的位置,得到lx2,利用绝对值的代数意义负数的绝对值等于它的相反数,去括号合并即可得到结果.【详解】解根据题意得1VXV2,/.2x-20230,—x0,!I.|2x-2023|+|-x|!=2023—2x+x=2023—x.故答案为2023-x.!【点睛】此题考查了整式的加减运算,涉及的知识有绝对值的代数意义,数轴,去括号法则,以及!合并同类项法则,熟练掌握法则是解本题的关键.I【变式2-2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图,则|a+b|+|c—加=.iA1A1bc0a\【答案】—a—2b+c\【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的位置确定a与b之间,b与c之间的大小关系,再去绝对值符|号即可.1【详解】解根据有理数a、b、c在数轴上的位置可以确定a+b0,c-b
0.]原式=一a+b+c-b=-a-2b+c.|故答案为—a—2b+c.i【点睛】本题考查数轴,绝对值的性质,熟练掌握这些知识点是解题关键.!题型3:绝对值的非负性i丽
3.在--
2、-|-2|、—
22、—2尸中正数有!A・1个B.2个C.3个D・4个!【答案】B!【解析】解--2=20,-|-2|=-20,-22=-40,-22=40,!综上,正数有两个.!故答案为B.i【分析】先计算分别求出各项的值,再判别其正负性,即可解答.i___________________________________________________________________________________________________________________J【变式3-1]若根、几满足|m+31+n+22=0,则mn的值为.i【答案】61【分析】根据|m+3|+n+2尸=0,|m+3|0,n+220可求出m、n的值,从而即可求出mn|的值,得到答案.【详解】解.・.|m+3|+n+22=0,|m+3|0,n+220,!i・・・m+3=0,n+2=0,!解得m=-3,n=-2,・•・mn=-3x—2=6,!故答案为
6.!【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的应用,解题的关键是掌握非负数的性质有限个非负数的和1为零,那么每一个加数必也为零.i【变式3-2]若|%+5|+|y—8|=,则x+y=.I【答案】3I【分析】根据绝对值的非负性得到x与y的值,代入代数式求解即可得到结论.1【详解】解・・・|x+5|N0/y—8|N0,|fx_1_C;—n・,・当|x+5|+|y-8|=0成立时,必须“_Q_n,!解得{百,I•••x+y=—5+8=3,\故答案为3|【点睛】本题考查代数式求值,掌握绝对值非负性是解决问题的关键.!题型4:相反数、绝对值求字母的值1瞰14,若|%|=-%,则%!A.%0B.%0C.%0D.%0【答案】B!【解析】解V|%|=一%,1•••%的取值范围是%
0.j故答案为B.I【分析】根据绝对值的非负性可求解.1_______________________________________________________________________________________J【变式4-1]根据⑷20这条性质,解答下列问题I1当=时,|一4|有最小值,此时最小值为;I2已知a,b互为相反数,且Q0,b0,求|a—b|+2a+|b|的值.;【答案】14;0!2b或-a【分析】1根据|a|20,可知|a—4|之0,即最小值为0,此时a—4=0,解出a即可;2根据a,b互为相反数,可知a=-b,再去绝对值计算即可.【详解】1解•••|a—4|Z0,.••当a—4=0时,怙一引有最小值0,/.a=4,故答案为4;
0.2解・・匕,b互为相反数,••3——b,又・・\0,b0,|a-b|+2a+|b|=|a+a|+2a+|b|=—2a+2a+b=b.【点睛】本题考查了绝对值的非负性,整式的绝对值的求解,对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键.【变式4-2]1已知|x—5|+|y—4|=0,求x,歹的值.2已知人6互为相反数,|0一2021|=0,求a+6+c的值.【答案】1x=5,y=4;22021【分析】1根据绝对值的非负性求得x,y的值,即可求解;2根据相反数的定义,绝对值的非负性,进而即可求解.【详解】1解・・・|x—5|+|y—4|=0,:•x—5=O1y—4=0,:•x=5,y=4;2Va b互为相反数,|c—2021|=0,A a+b=0,c=2021,••・a+b+c=0+2021=
2021.【点睛】本题考查了绝对值的非负性,相反数的性质,掌握绝对值的非负性是解题的关键.有神的大小比较
1.数轴法在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小.如a与b在数轴上的位置如图所示,则ab.____________r_______2,法则比较法°b两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下:同为正号绝对值大的数大两数同号同为负号绝对值大的反而小两数异号正数大于负数正数与0正数大于0数为0负数与0负数小于
013.作差法设a、b为任意数,若a-b0,则ab;若a-b=O,则a=b;若a-b0,ab;反之成立.!i
4.求商法设a、b为任意正数,若31,则〉6;若@=1,则=b;若21,则6;反之也成!!bIb b!|立.若a、b为任意负数,则与上述结论相反.!
15.倒数比较法如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.!---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1I注意!i利用绝对值比较两个负数的大小的步骤
(1)分别计算两数的绝对值;
(2)比较绝对值的大小;
(3)判1!定两数的大小.!\---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------iII题型5比较有理数的大小!I!!|晒5在-25-2,0,L5这几个数中,最小的数是()|1II I!B.-2C.0!!【答案】A!1I!【解析】解V|-
2.5|=
2.5J-21=2,
2.52,!I!.\-
2.5-2!1I!・,・-
2.5—
201.5•1II I1I・•・1II I1I!故答案为A ii【分析】正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小.据此:i判断即可.:•II_______________________________________________________________________________________J1【变式5-1】比较大小—___—!341【答案】\1III【分析】根据有理数大小比较的法则进行比较即可.1【详解】解•・•-i
3344、53・•・W>I,I345,3I•------•・・3<4,!故答案为<.!【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较,熟练掌握正数都大于0,负数都小于0,正数都大于负数,!两个负数绝对值大的反而小,是解题的关键.I【变式5-2]已知a=b=+於,判断―江(填,,<,=);Q615615【答案】<I【分析】根据一个非零数乘一个比1小的数,积比原来的因数小;一个非零数除以一个比1小的数,I商比被除数大,据此判断即可.I【详解】解•••()<白<1,!
15.74,
74.X—<—--------------,615615<a b,1故答案为<.I【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法以及有理数的乘除法,要熟练掌握,解答此题的关键I是要明确
①正数都大于0;
②负数都小于0;
③正数大于一切负数;
④两个负数,绝对值大的其值反!而小.!【变式5-3】希望小学要买60个足球,现有甲、乙、丙三个商店可以选择,三个商店足球单价都是30元,1但各个商店的优惠办法不同!甲店全部打八折销售;!乙店当购买足球不超过20个时,不打折;购买超过20个时,超过部分打六折;|丙店买10个足球免费赠送2个,不足10个不赠送;I为了节省费用,希望小学应到哪个商店购买合算?为什么?|【答案】为了节省费用,希望小学应到乙商店购买合算,理由见解析I【分析】根据题意和题目中的数据,可以计算出三家商店需要花费的情况,然后比较大小即可.1【详解】解为了节省费用,希望小学应到乙商店购买合算.1理由由题意可得,J在甲店购买需要花费为30x60x
0.8=1440(元),在乙店购买需要花费为30x20+30x(60-20)x
0.6=1320(元),在丙店购买需要花费为30x50=1500(兀),V132014401500,•••为了节省费用,希望小学应到乙商店购买合算.【点睛】本题考查了有理数比较大小,解答本题的关键是明确题意,求出三个商店的花费情况.题型6:绝对值的实际应用幽
6.一条东西方向的道路上有A,B两点,现有出租车从A点出发,在这条路道路上进行往返运动,以该道路为直线建立数轴(向东为正,1千米为1个单位长度).点A,B分别表示一8,10,将出租车在数轴上的位置记为点C,每次运动的位置变化记录如下(x0)次数第一次第二次第三次第四次变化记录(单位千米)-33x+3—X—4—X
(1)第一次运动后点C在数轴上所表示的数为,第二次运动方向为(填“向东”或“向西)
(2)若经过前三次运动,点C恰好与点B重合.
①求x的值.
②点C这四次一共运动了多少千米的路程?【答案】
(1)-11;向西
(2)解Q)根据题意,列得方程—8+(—3)+(—%)+(3%+3)=10解得x=9;
②根据题意,列式|—31+|-%|+13x+31+|-x—=|—31+|-9|+13X9+31+|-9-4|=3+9+30+13=
55.【解析】解
(1)第一次运动后点C在数轴上所表示的数为-8+(-3)=-11,Vx0,A-x0,••・向西运动;【分析】
(1)根据有理数的加法列式计算,由于正数和负数表示一对相反意义的量,向东为正,则向西为负,即可解答;!
(2)
①根据这几个数的和为10,建立方程求解即可;!
②点c运动的路程为这几个数的绝对值之和,把
①的结果代入式中计算即可.!」【变式
6.1】正式篮球比赛时所用的篮球质量有严格规定,下面是6个篮球的质量检测结果(用正数记超过!I规定质量的克数,用负数记不足规定质量的克数)一
23、+
10、-
19、+
25、+
14、-
35.如果你是某!篮球队的教练,你应为你的队员选以左到右数的第几号球?并用你已学过的知识进行说明.!【答案】第2个球,见解析!【分析】计算绝对值,比较绝对值的大小,绝对值小的更接近标准.1【详解】解应选从左边起第2个球.1理由是V|-35||+25||-23||-19||+14||+10|,i•••选从左边起第2个球,它最接近标准质量.1【点睛】本题考查了绝对值的大小比较,熟练掌握绝对值越小,越接近标准是解题的关键.|-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1练53与提升
1.下列各式正确的是()()()A.—―5=5B.—―5=—5C.|-5|=—5D.—|-5|=5【答案】A【分析】根据去括号法则和绝对值化简法则,逐个进行判断即可.【详解】解A、—(—5)=5,故A正确,符合题意;B、—(—5)=5,故B不正确,不符合题意;C、|一5|=5,故C不正确,不符合题意;D、—5|=—5,故D不正确,不符合题意;故选A.【点睛】本题主要考查了化简多重符合和化简,解题的关键是熟练掌握化简多重符合的法则和化简绝对值的方法.
2.若1%—3|=4,则%的值为()A.%=7B.%=-1C.%=7或%=-1D.以上都不对【答案】c【分析】利用绝对值的意义可得X-3=±4,解出x的值即可.【详解】解・・・|x—3|=4,。