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文本内容:
弧长和扇形面积(第课时)
24.41教学内容
1.n0的圆心角所对的弧长L二斑
1802.扇形的概念;
3.圆心角为n的扇形面积是S扇形=2^;
3604.应用以上内容解决一些具体题目.教学目标了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用.通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积180S扇二名画的计算公式,并应用这些公式解决一些题目.360重难点、关键
1.重点n的圆心角所对的弧长L二斑,扇形面积S扇二匕以及其它们的应用.
1803602.难点两个公式的应用.
3.关键由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程.教具、学具准备小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板.教学过程
一、复习引入(老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题.
1.圆的周长公式是什么?
2.圆的面积公式是什么?
3.什么叫弧长?4师点评
(1)圆的周长C=2〃R
(2)圆的面积S图二乃R2
(3)弧长就是圆的一部分.
二、探索新知(小黑板)请同学们独立完成下题设圆的半径为R,则
1.圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧.
2.1°的圆心角所对的弧长是.
3.2°的圆心角所对的弧长是.
4.4°的圆心角所对的弧长是.
5.n°的圆心角所对的弧长是(老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得至IJ:n°的圆心角所对的弧长为丝四360例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道的展直长度,即A3的长(结果精确到
0.1mm)分析要求A3的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可.njiR110x40仁
76.8mm而180解R=40mm,n=110因此,管道的展直长度约为
76.8mm.问题(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m的绳子,绳子的另一端拴着一头牛,如图所示
(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?
(2)如果这头牛只能绕柱子转过n角,那么它的最大活动区域有多大?学生提问后,老师点评
(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心,5nl为半径的圆的面积.
(2)如果这头牛只能绕柱子转过n角,那么它的最大活动区域应该是n圆心角的两个半径的n圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.(小黑板),请同学们结合圆心面积S Rz的公式,独立完成下题二万
1.该图的面积可以看作是度的圆心角所对的扇形的面积.
2.设圆的半径为R,1的圆心角所对的扇形面积S扇形=.
3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扇形二.
4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=.
5.设圆半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形二1,_25/rR2n7iR~
1.
36024.S
5.S
2.S R
3.S7i R扇形二扇形二扇形二扇形二——一360360360360老师检察学生练习情况并点评因此在半径为R的圆中,圆心角n的扇形_nziR2S扇形二—--360例
2.如图,已知扇形AOB的半径为10,ZA0B=60°,求A5的长(结果精确到
0.1)和扇形AOB的面积结果精确到
0.1)分析要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足.解AB的长二7i X10=—ri“1803601009S X10=-----7i y扇形二------3606因此,AB
1.
三、巩固练习课本P122练习.
四、应用拓展例
3.
(1)操作与证明如图所示,是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在0处,并将纸板绕0点旋转,求证正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
(2)尝试与思考如图a、b所示,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将纸板绕0旋转-当扇形纸板的圆心角为时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.(a)(b)
(3)探究与引申一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心0点处,若将纸板绕0点旋转,当扇形纸板的圆心角为时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a,这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明);若不是定值,请说明理由.解
(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结OA、0D.:四边形ABCD是正方形AOA=OD,ZA0D=90°,ZMAO=ZNDO,又NM0N=90,ZAOM=ZDON•△AMO也△DNO・・.AM=DN,AM+AN=DN+AN=AD二a特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A)8重合,止陋寸AM+AN仍为定值a.故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.
(2)120°;70°360°q
(3)二上;正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是士.n n
五、归纳小结(学生小结,老师点评)本节课应掌握Ln的圆心角所对的弧长L二显
1802.扇形的概念.
3.圆心角为n的扇形面积是S扇形二丝工
3604.运用以上内容,解决具体问题.
六、布置作业
1.教材P124复习巩固
1、
2、3P125综合运用
5、
6、
7.
2.选用课时作业设计.第一课时作业设计
一、选择题
1.已知扇形的圆心角为120,半径为6,则扇形的弧长是().A.371B.4乃C.5乃D.6〃
2.如图1所示,把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上,按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置,则点B运动到点B,所经过的路线长度为()A.1B.7i C.V2D.V2
(1)
(2)
(3)
3.如图2所示,实数部分是半径为9nl的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为()A.12乃川B.18乃川C.20万01D.24〃m
二、填空题7T
1.如果一条弧长等于2,它的半径是R,那么这条弧所对的圆心角度数为,R4当圆心角增加30时,这条弧长增加.
2.如图3所示,0A=30B,则AQ的长是5c的长的倍.
三、综合提高题JT
1.已知如图所示,A3所在圆的半径为R,A3的长为一R,0,和0A、0B分别相切3于点C、E,且与内切于点D,求0’的周长.
2.如图,若的周长为20〃cm,OA、OB的周长都是4cm,(DA在0内沿0滚动,0B在0外沿0滚动,OB转动6周回到原来的位置,而A只需转动4周即可,你能说出其中的道理吗?
3.如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD,AB=1,AD=V3,将画刷以B为中心,按顺时针转动A BC D位置(A点转在对角线BD上),求屏幕被着色的面积.答案
一、
1.B
2.D
3.D
二、
1.45°-
2.36JT由/二一R,解得ZA0B=60°,3由RtZXOO C解得0的半径,R,所以0,L3
三、
1.连结0D、0C,则0在0D上
2.
0、OA、OB的周长分别为20万cm,4/r cm,4/r cm,可求出它的半径分别为10cm2cm、2cm,所以0A=8cm,0B=12cm,因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离,所以A滚动回原位置经过距离为2万X8=16万=4〃X4,而B滚动回原位置经过距离为2万X12=24二4万X
6.因此,与原题意相符.
3.设屏幕被着色面积为S,则S=S连结BD,SAABD+S扇形BDD+Sz\BCD=矩形ABCD+S扇形BDD,在RtZ\A,BD中,A B二1,A D=AD=5A BDz=BD=2,NDBD=60°,2AS=n•22+l•V3=V3+—7i.63。