20240219二次函数压轴题大题（共30道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练

MrFan数学课堂专题二次函数图象性质与应用道30

一、单选题1．2023·江苏徐州·统考中考真题在平面直角坐标系中，将二次函数yx123的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为A．yx322B．yx122C．yx124D．yx324【答案】B【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．【详解】解由二次函数yx123的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为yx122；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．2．2023·辽宁沈阳·统考中考真题二次函数yx122图象的顶点所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【详解】根据抛物线yx122，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．解yx122，顶点坐标为-1,2，顶点在第二象限．故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．2023·甘肃兰州·统考中考真题已知二次函数y3x223，下列说法正确的是A．对称轴为x2B．顶点坐标为2,3C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数y3x223的对称轴为x2，顶点坐标为2,3MrFan数学课堂MrFan数学课堂∵30∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为y=3∴A、B、D选项错误，C选项正确故选C【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．4．2023·贵州·统考中考真题已知，二次数yax2bxc的图象如图所示，则点Pa,b所在的象限是A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点Pa,b所在象限．【详解】解由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，ba0，0，2ab0，Pa,b在第四象限，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图象判断出a和b的符号．5．2023·辽宁营口·统考中考真题如图．抛物线yax2bxca0与x轴交于点A3,0和点B1,0，与y轴交于点C．下列说法

①abc0；

②抛物线的对称轴为直线x=1；

③当3x0时，ax2bxc0；

④当x1时，y随x的增大而增大；

⑤am2bmabm为任意实数其中正确的个数是MrFan数学课堂MrFan数学课堂A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得a0，c0，根据A3,0和点B1,0可得抛物线的对称轴为直线x=1，即可判断

②；推出b2a0，即可判断

①；根据函数图象即可判断

③④；根据当x=1时，抛物线有最大值abc，即可得到am2bmab，即可判断

⑤．【详解】解∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a0，c0，∵抛物线与x轴交于点A3,0和点B1,0，31∴抛物线对称轴为直线x1，故

②正确；2b∴1，2a∴b2a0，∴abc0，故

①错误；由函数图象可知，当3x0时，抛物线的函数图象在x轴上方，∴当3x0时，ax2bxc0，故

③正确；∵抛物线对称轴为直线x=1且开口向下，∴当x1时，y随x的增大而减小，即当x1时，y随x的增大而减小，故

④错误；∵抛物线对称轴为直线x=1且开口向下，∴当x=1时，抛物线有最大值yabc，∴am2bmcabc，∴am2bmab，故

⑤正确；综上所述，正确的有

②③⑤，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．MrFan数学课堂MrFan数学课堂6．2023·陕西·统考中考真题在平面直角坐标系中，二次函数yx2mxm2mm为常数的图像经过点0，6，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有1515A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值44【答案】D【分析】将0，6代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m3，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．【详解】解将0，6代入二次函数解析式yx2mxm2m得6m2m，解得m3，m2，12b m∵二次函数yx2mxm2m，对称轴在y轴左侧，即x0，2a2∴m0，∴m3，2315∴yx23x6x，24215∴当x时，二次函数有最小值，最小值为，34故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．7．2023·湖北鄂州·统考中考真题如图，已知抛物线yax2bxca0的对称轴是直线x1，且过点1,0，顶点在第一象限，其部分图象如图所示，给出以下结论

①ab0；

②4a2bc0；

③3ac0；

④若Ax,y，Bx,y其中xx是抛物线上的两点，且xx2，则yy，其中正确的选项是1122121212A．

①②③B．

①③④C．

②③④D．

①②④【答案】D【分析】根据二次函数的性质可得a0，b2a，b0，可判断结论

①；由x2处的函数值可判断结论

②；MrFan数学课堂MrFan数学课堂由x=1处函数值可判断结论

③；根据xx2得到点Ax,y到对称轴的距离小于点Bx,y到对称轴121122的距离可判断结论

④．【详解】解二次函数开口向下，则a0，b二次函数对称轴为x1，则1，b2a，b0，2a∴ab0，故

①正确；∵过点1,0，∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为3,0，由函数图象可得x2时y0，4a2bc0，故

②正确；x1时y0，abc0，b2a代入得3ac0，故

③错误；∵对称轴是直线x1，xx∴若121，即xx2时，yy，21212∴当xx2时，12点Ax,y到对称轴的距离小于点Bx,y到对称轴的距离1122∵二次函数开口向下∴yy，故

④正确．12综上所述，正确的选项是

①②④．故选D．【点睛】本题考查了二次函数的综合，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．3ab08．2023·山东日照·统考中考真题在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2bxa0，满足，ab0已知点3,m，2,n，4,t在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为A．tnm B．mtn C．ntm D．nmt【答案】CMrFan数学课堂MrFan数学课堂【分析】利用解不等式组可得3aba且a0，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．【详解】解不等式组可得:3aba，且a0b13所以对称轴x的取值范围在x，2a22由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是2,n，其次是4,t，最远的是3,m，即根据增减性可得ntm，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．ab9．2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题如图，抛物线yax2bxc经过点2,0，3,0．下列结论

①0；c511

②c2b；

③若抛物线上有点,y，3,y，,y，则yyy；

④方程cx2bxa0的解为x，21223213121x，其中正确的个数是23A．4B．3C．2D．1【答案】Db ab【分析】根据二次函数图象可知a0，0，c0，得出0，故

①不正确；将点2,0，3,0代2a c入，得出ab0，再求出c2b，故

②不正确；根据函数图象可得yyy，故

③正确；根据方程213cx2bxa0，b24acb24b2b7b20，可知方程无解，故

④不正确．b【详解】解根据二次函数图象可知a0，0，c0，2a∴b0，ab∴0，故

①不正确；cMrFan数学课堂MrFan数学课堂4abc0

①将点2,0，3,0代入得出，9a3bc0

②②-

①得出ab0，∴ab，再代入

①得出c2b，故

②不正确；1∵30，2∴y0，y0，235∵0，2∴y0，1根据图象可知yyy，故

③正确；213∵方程cx2bxa0，∴b24acb24b2b7b20，∴方程cx2bxa0无解，故

④不正确；正确的个数是1个，故选D．【点睛】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．10．2023·湖北恩施·统考中考真题如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线yax2bxca0的对称轴为x1，与x轴的一个交点位于2,0，3,0两点之间．下列结论1

①2ab0；

②bc0；

③ac；

④若x，x为方程ax2bxc0的两个根，则3xx0．其31212中正确的有个．MrFan数学课堂MrFan数学课堂A．1B．2C．3D．4【答案】Bb【分析】由图象得a0，c0，由对称轴x1得b2a0，2ab0，bc0；抛物线与x轴的2a一个交点位于2,0，3,0两点之间，由对称性知另一个交点在1,0，0,0之间，得yabc0，1c于是ac，进一步推知-30，由根与系数关系知-3xx0；3a12【详解】解开口向下，得a0，与y轴交于正半轴，c0，b对称轴x1，b2a0，2ab0，故

①2ab0错误；2abc0故

②bc0错误；抛物线与x轴的一个交点位于2,0，3,0两点之间，对称轴为x1，故知另一个交点在1,0，0,0之间，故x=1时，yabc011∴a2ac0，得ac，故

③ac正确；331c由ac，a0，c0知-30，3a∵x，x为方程ax2bxc0的两个根，12c∴xx12a∴-3xx0，故

④正确；12故选B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．11．2023·四川雅安·统考中考真题如图，二次函数yax2bxc的图象与x轴交于A2,0，B两点，对称轴是直线x2，下列结论中，

①a0；

②点B的坐标为6,0；

③c3b；

④对于任意实数m，都有4a2bam2bm，所有正确结论的序号为MrFan数学课堂MrFan数学课堂A．

①②B．

②③C．

②③④D．

③④【答案】C【分析】根据抛物线开口方向可得a的符号，可对

①进行判断；根据抛物线的对称轴x2，由二次函数的对称性可得B点坐标，由图象即可对

②进行判断；根据点A2,0，点B6,0代入解析式利用加减消元法可得24b8c0，从而判定

③，再由x2时函数取最大值判定

④．【详解】解∵抛物线开☐向下，∴a0，故

①错误，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c0，∴ac0，设点B坐标为Bx,02∵抛物线对称轴为直线x2，点A的坐标为2,0，2x∴22，解得x6，22∴点B的坐标为6,0，故

②正确，∵点A的坐标为2,0，点B的坐标为6,0，4a2bc0

①∴36a6bc0

②∴由

②-

①9得24b8c0，即c3b，故

③正确；∵a0，抛物线对称轴为直线x2，∴当x2时，y4a2bc时函数最大值，当xm时，yam2bmc，∴4a2bcam2bmc，即4a2bam2bm，综上所述正确的结论有

②③④，故选C．【点睛】本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握数形结合思想的应用和二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性是解题关键．MrFan数学课堂MrFan数学课堂12．2023·湖南娄底·统考中考真题已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，给出下列结论

①abc0；

②4a2bc0；

③abmambm为任意实数；

④若点3,y和点3,y在该图象上，则yy．其1212中正确的结论是A．

①②B．

①④C．

②③D．

②④【答案】D【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得a0，c0，b0，故

①不符合题意；当x0与x2时的函数值相等，可得4a2bcc0，故

②符合题意；当x=1时函数值最大，可得abmamb，故

③不符合题意；由点3,y和点3,y在该图象上，而12314132，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得

④符合题意．【详解】解∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，b∴a0，c0，x0，2a∴b0，∴abc0，故

①不符合题意；∵对称轴为直线x=1，∴当x0与x2时的函数值相等，∴4a2bcc0，故

②符合题意；∵当x=1时函数值最大，∴abcam2bmc，∴abmamb；故

③不符合题意；∵点3,y和点3,y在该图象上，12而314132，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，MrFan数学课堂MrFan数学课堂∴yy．故

④符合题意；12故选D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．13．2023·四川绵阳·统考中考真题将二次函数yx2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是A．b＞8B．b＞﹣8C．b≥8D．b≥﹣8【答案】D【分析】先根据平移原则上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．【详解】解由题意得平移后得到的二次函数的解析式为y=x321，yx321则，y2xbx3212xb，x28x8b0，△=﹣82﹣4×1×8﹣b≥0，b≥﹣8，故选D．【点睛】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．14．2023·黑龙江大庆·统考中考真题如图1，在平行四边形ABCD中，ABC120，已知点P在边AB上，以1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动．若点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动．图2是VBPQ的面积ym2与点P的运动时间ts之间的函数关系图象点M为图象的最高点，则平行四边形ABCD的面积为MrFan数学课堂MrFan数学课堂A．12m2B．123m2C．24m2D．243m2【答案】C【分析】根据题意可得BC3AB，APt，BQ3t，设ABam，则BC3am，作PEBC交CB33的延长线于点E，作AFBC交CB的延长线于点F，则可得AFABam，2223333a3PE2PB2ABPA2atm，从而得到SPBQ4t216a2，根据SPBQ的最大值为3，求出a的值，从而得到AB4m，BC43m，AF23m，最后由平行四边形的面积公式进行计算即可得到答案．【详解】解根据题意可得BC3AB，APt，BQ3t，设ABam，则BC3am，作PEBC交CB的延长线于点E，作AFBC交CB的延长线于点F，，ABC120，ABF60，33333AFABam，PEPBABPAatm，222222113333a3SBQPE3tatt2atta2，PBQ222444216由图象可得S的最大值为3，PBQMrFan数学课堂MrFan数学课堂3a23，16解得a4或a4舍去，a4，AB4m，BC43m，AF23m，平行四边形ABCD的面积为BCAF432324m2，故选C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、解直角三角形、二次函数的图象与性质，熟练掌握平行四边形的性质、二次函数的图象与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形，是解题的关键．

二、多选题15．2023·山东潍坊·统考中考真题已知抛物线yax25x3经过点1,4，则下列结论正确的是A．拋物线的开口向下5B．拋物线的对称轴是x4C．拋物线与x轴有两个交点49D．当t时，关于x的一元二次方程ax25x3t0有实根8【答案】BC【分析】将点1,4代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．【详解】解将点1,4代入yax25x3得a534，解得a2，2549y2x25x32x，485抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是x，选项A错误，选项B正确；4方程2x25x30的根的判别式52423490，∴方程2x25x30有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，选项C正确；MrFan数学课堂MrFan数学课堂549由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当x时，y取得最小值，4849∴当t时，yax25x3与yt没有交点，849∴当t时，关于x的一元二次方程ax25x3t0没有实根，选项D错误；8故选BC．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

三、解答题16．2023·陕西·统考中考真题某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m2，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示方案一，抛物线型拱门的跨度ON12m，拱高PE4m．其中，点N在x轴上，PEON，OEEN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON8m，拱高PE6m．其中，点N在x轴上，PEON，OEEN．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好框架的粗细忽略不计．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架ABCD的面积记为S，点A，D¢12在抛物线上，边BC在ON上．现知，小华已正确求出方案二中，当AB3m时，S122m2，请你根据2以上提供的相关信息，解答下列问题1求方案一中抛物线的函数表达式；2在方案一中，当AB3m时，求矩形框架ABCD的面积S并比较S，S的大小．11214【答案】1yx2x93218m2，SS12MrFan数学课堂MrFan数学课堂【分析】1利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；14142在yx2x中，令y3得3x2x，求出x3或x9，得出BC936m，求出9393SABBC3618m2，然后比较大小即可．1【详解】1解由题意知，方案一中抛物线的顶点P6，4，设抛物线的函数表达式为yax624，把O0，0代入得0a0624，1解得a，9114∴yx624x2x；99314∴方案一中抛物线的函数表达式为yx2x；9314142解在yx2x中，令y3得3x2x，9393解得x3或x9，∴BC936m，∴SABBC3618m2；1∵18122，∴SS．12【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．17．2023·甘肃兰州·统考中考真题一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体看成一点在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度ym与离起跳点A的水平距离xm之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m．MrFan数学课堂MrFan数学课堂1求y关于x的函数表达式；2求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长．【答案】1y关于x的函数表达式为yx22x102运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为111m【分析】1由题意得抛物线的对称轴为x1，经过点0，10，3，7，利用待定系数法即可求解；2令y0，解方程即可求解．【详解】1解由题意得抛物线的对称轴为x1，经过点0，10，3，7，设抛物线的表达式为yax2bxc，b12aa1∴c10，解得b2，9a3bc7c10∴y关于x的函数表达式为yx22x10；2解令y0，则x22x100，解得x111负值舍去，∴运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长为111m．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．18．2023·辽宁·统考中考真题商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y台MrFan数学课堂MrFan数学课堂与销售单价x元之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示销售单价x元…506070…月销量y台…908070…1求y与x之间的函数关系式；2当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？【答案】1yx1402护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元【分析】1用待定系数法求解即可；2设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，即可求得最大利润．【详解】1解由题意设ykxbk0，由表知，当x50时，y90；当x60时，y80；50kb90以上值代入函数解析式中得，60kb80k1解得，b140所以y与x之间的函数关系式为yx140；2解设销售利润为W元，则Wx40yx40x140，整理得Wx2180x5600，由于销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，则40x80，∵10，Wx9022500，∴当x90时，W随x的增大而增大，∴当x80时，W有最大值，且最大值为2400；答当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．19．2023·江苏泰州·统考中考真题阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题如何求不等式x2x60的解集？MrFan数学课堂MrFan数学课堂通过思考，小丽得到以下3种方法方法1方程x2x60的两根为x2，x3，可得函数yx2x6的图像与x轴的两个交点横坐12标为

2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2x60的解集．方法2不等式x2x60可变形为x2x6，问题转化为研究函数y=x2与yx6的图像关系．画出函数图像，观察发现两图像的交点横坐标也是

2、3；y=x2的图像在yx6的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集．66方法3当x0时，不等式一定成立；当x0时，不等式变为x1；当x0时，不等式变为x1．问x x6题转化为研究函数yx1与y的图像关系…x任务1不等式x2x60的解集为_____________；23种方法都运用了___________的数学思想方法从下面选项中选1个序号即可；A.分类讨论B.转化思想C.特殊到一般D.数形结合3请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．【答案】12x32D3图像见解析，不等式x2x60的解集为2x3【分析】1如图1，作yx2x6的图像，由方法1可知，不等式x2x60的解集为2x3；2由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；63如图2，作函数yx1与y的图像，由图像可得，x2x60的解集为2x0，或0x3，进x而可得x2x60的解集．【详解】1解如图1，作yx2x6的图像，MrFan数学课堂MrFan数学课堂由方法1可知，不等式x2x60的解集为2x3，故答案为2x3；2解由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，故选D；63解如图2，作函数yx1与y的图像，x由图像可得，x2x60的解集为2x0，或0x3，综上，x2x60的解集为2x3．【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．20．2023·辽宁·统考中考真题电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y件与每件玩具售价x元之间满足一次函数关系其中100x160，且x为整数．当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．1求y与x之间的函数关系式；2当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？【答案】1y2x320其中100x160，且x为整数2当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元【分析】1设y与x之间的函数关系式为ykxb，利用待定系数法求解即可；MrFan数学课堂MrFan数学课堂2设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式即可求解．【详解】1解设y与x之间的函数关系式为ykxb，120kb80由已知得，140kb40k2解得，b320因此y与x之间的函数关系式为y2x320其中100x160，且x为整数；2解设每周销售这款玩具所获的利润为W，由题意得W2x320x1002x13021800，20，W关于x的二次函数图象开口向上，100x160，且x为整数，当x130时，W取最大值，最大值为1800，即当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用，列出周利润W关于x的二次函数关系式是解题的关键．21．2023·江苏宿迁·统考中考真题某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．1求A、B两种商品的销售单价．2经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】1A的销售单价为30元、B的销售单价为24元2当m5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元【分析】1设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，根据题中售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；售出A种10件，B种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案；2设利润为w，根据题意，得到w10m52810，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案．【详解】1解设A的销售单价为x元、B的销售单价为y元，则MrFan数学课堂MrFan数学课堂20x10y840x30，解得，10x15y660y24答A的销售单价为30元、B的销售单价为24元；2解A种商品售价不低于B种商品售价，30m24，解得m6，即0m6，设利润为w，则w4010m30m20242010m2100m56010m52810，100，w在m5时能取到最大值，最大值为810，当m5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键．22．2023·浙江·统考中考真题根据以下素材，探究完成任务．如何把实心球掷得更远？素材1小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面

1.6m，当球到OA的水平距离为1m时，达到最大高度为

1.8m．素材2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处如图架起距离地面高为

2.45m的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离OC8m．MrFan数学课堂MrFan数学课堂问题解决任务1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离OB．任务2探求高度变化求素材2和素材1中球的最大高度的变化量任务3提出训练建议为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．22【答案】任务一4m；任务二m；任务三应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选15择适当的掷出仰角【分析】任务一建立直角坐标系，由题意得抛物线的顶点坐标为1,

1.8，设抛物线的解析式为yax12

1.8，过点0,

1.6，利用待定系数法求出解析式，当y0时求出x的值即可得到OB；任务二建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；任务三根据题意给出合理的建议即可．【详解】任务一建立如图所示的直角坐标系，由题意得抛物线的顶点坐标为1,

1.8，设抛物线的解析式为yax12

1.8，过点0,

1.6，MrFan数学课堂MrFan数学课堂∴a

1.8

1.6，解得a

0.2，∴y

0.2x12

1.8，当y0时，

0.2x12

1.80，得x4,x2舍去，1∴素材1中的投掷距离OB为4m；2建立直角坐标系，如图，设素材2中抛物线的解析式为yax2bxc，由题意得，过点0,

1.6,1,

2.45,8,0，c

1.6∴abc

2.45，64a8bc0a

0.15解得b1，c

1.6∴y

0.15x2x

1.64acb24

0.15

1.61249∴顶点纵坐标为，4a4

0.15154922

1.8m，151522∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为m；15任务三应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立MrFan数学课堂MrFan数学课堂恰当的直角坐标系是解题的关键．23．2023·山东潍坊·统考中考真题为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y克随时间x分钟变化的数据0x20，并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．k1从yax21a0，yk0，y

0.04x2bxc中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下y随xx变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；2查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？【答案】1场景A中y随x变化的函数关系为y

0.04x2

0.1x21，场景B中y随x变化的函数关系为yx212场景B【分析】1由图象可知，场景A中y随x变化的函数关系为y

0.04x2bxc，将10,16，20,3代入y

0.04x2bxc，进而可得y

0.04x2

0.1x21；场景B中y随x变化的函数关系为yax21a0，将20,1代入，进而可得yx21；2场景A中当y3时，x=20；场景B中，将y3代入yx21，解得，x24,判断作答即可．【详解】1解由图象可知，场景A中y随x变化的函数关系为y

0.04x2bxc，

0.0410210bc16将10,16，20,3代入y

0.04x2bxc，得，

0.0420220bc3b

0.1解得，c21MrFan数学课堂MrFan数学课堂∴y

0.04x2

0.1x21；场景B中y随x变化的函数关系为yax21a0，将20,1，代入yax21，得20a211，解得a1，∴yx21；2解场景A中当y3时，x=20；场景B中，将y3代入yx21，得3x21，解得x24，∵2420，∴该化学试剂在场景B下发挥作用的时间更长．【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24．2023·湖南益阳·统考中考真题某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售2情况等因素进行分析得知投资A项目一年后的收益y万元与投入资金x万元的函数表达式为yx，A A51投资B项目一年后的收益y万元与投入资金x万元的函数表达式为yx22x．B B51若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？2若对A，B两个项目投入相同的资金mm0万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？32023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？【答案】14万元2m83当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．2【分析】1把x10代入yx可得答案；A5212当xm时，可得mm22m，再解方程可得答案；553设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为32x万元，设总收益为y万元，1864yyyx2x，而0x32，再利用二次函数的性质可得答案．A B5552【详解】1解∵投资A项目一年后的收益y万元与投入资金x万元的函数表达式为yx，A A5MrFan数学课堂MrFan数学课堂2当x10时，y104万元；A52∵对A，B两个项目投入相同的资金mm0万元，一年后两者获得的收益相等，21∴mm22m，55整理得m28m0，解得m8，m0不符合题意，12∴m的值为8．13yx22xB5设投入到B项目的资金为x万元，则投入到A项目的资金为32x万元，设总收益为y万元，∴yyyA B2132xx22x551864x2x，555而0x32，8513264∴当x4时，y1616万元；1最大55525∴当A，B两个项目分别投入28万，4万元时，一年后获得的收益之和最大，最大值是16万元．【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，一元二次方程的解法，列二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意，选择合适的方法解题是关键．25．2023·贵州·统考中考真题如图

①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分如图

②所示，抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA垂直，OC9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距离是1．1求抛物线的表达式；MrFan数学课堂MrFan数学课堂2如图

②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA,PB，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；3为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为yx22bxb1b0，当4x6时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．【答案】1yx292点P的坐标为0,6463b13【分析】1设抛物线的解析式为yax2k，将C0,9，A3,0代入即可求解；2点B关于y轴的对称点B，则PAPBPAPBAB，求出直线AB与y轴的交点坐标即可；3分0b5和b5两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．【详解】1解抛物线的对称轴与y轴重合，设抛物线的解析式为yax2k，OC9，OA3，C0,9，A3,0，将C0,9，A3,0代入yax2k，得k9，32ak0k9解得，a1抛物线的解析式为yx29；2解抛物线的解析式为yx29，点B到对称轴的距离是1，当x1时，y198，B1,8，作点B关于y轴的对称点B，则B1,8，BPBP，MrFan数学课堂MrFan数学课堂PAPBPAPBAB，当B，B，A共线时，拉杆PA,PB长度之和最短，设直线AB的解析式为ymxn，03mn将B1,8，A3,0代入，得，8mnm2解得，n6直线AB的解析式为y2x6，当x0时，y6，点P的坐标为0,6，位置如下图所示3解yx22bxb1b0中a10，抛物线开口向下，当0b5时，在4x6范围内，当x6时，y取最小值，最小值为6226bb113b37则13b379，46解得b，1346b5；13当b5时，在4x6范围内，当x4时，y取最小值，最小值为4224bb19b17则9b179，26解得b，9b5；MrFan数学课堂MrFan数学课堂46综上可知，b5或b5，1346b的取值范围为b．13【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．

四、填空题26．2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题将抛物线yx32向下平移1个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．【答案】2或4/4或2【分析】先求出抛物线yx32向下平移1个单位长度后与x的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．【详解】解抛物线yx32向下平移1个单位长度后的解析式为yx321，令y0，则x3210，解得，x2,x4，12∴抛物线yx321与x的交点坐标为2,0和4,0，∴将抛物线yx321向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．故答案为2或4．【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律左加右减，上加下减是解题关键．27．2023·山东泰安·统考中考真题二次函数yx23x4的最大值是．25【答案】4【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．【详解】解利用配方法，将一般式化成顶点式325yx23x4（x）224MrFan数学课堂MrFan数学课堂二次函数开口向下，顶点处取最大值，325即当x时，最大值为．2425故答案为．4【点睛】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题的关键，也是易错点．28．2023·湖南娄底·统考中考真题如图，抛物线yax2bxc与x轴相交于点A1,

0、点B3,0，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD．【答案】4【分析】与抛物线yax2bxc与x轴相交于点A1,

0、点B3,0，可得抛物线的对称轴为直线x=1+3=2，2由CD∥x轴，可得C，D关于直线x2对称，可得D4,c，从而可得答案．【详解】解∵抛物线yax2bxc与x轴相交于点A1,

0、点B3,0，1+3∴抛物线的对称轴为直线x==2，2∵当x0时，yc，即C0,c，∵CD∥x轴，∴C，D关于直线x2对称，∴D4,c，∴CD404；故答案为4MrFan数学课堂MrFan数学课堂【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．29．2023·吉林长春·统考中考真题2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪．如图

①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图

②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A、B到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H距地面米．【答案】19【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令x0求平移后的抛物线与y轴的交点即可．【详解】解由题意可知A40,4、B40,4、H0,20，设抛物线解析式为yax220，将A40,4代入解析式yax220，1解得a，100x2y20，100x2消防车同时后退10米，即抛物线y20向左右平移10米，100x102平移后的抛物线解析式为y20，100令x0，解得y19，故答案为19．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移MrFan数学课堂MrFan数学课堂动前后抛物线的解析式．30．2023·江苏泰州·统考中考真题二次函数yx23xn的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是填一个值即可.【答案】3答案不唯一【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】解设二次函数yx23xn的图象与x轴交点的横坐标为x、x，12即二元一次方程x23xn0的根为x、x，12由根与系数的关系得xx3，xxn，1212一次函数yx23xn的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，x，x为异号，12n0，故答案为3答案不唯一．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．MrFan数学课堂MrFan数学课堂MrFan数学课堂。