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〃N+i x=x+x—%x—%…x—%f[x,石,…,z+i]0因此便于递推运算而且Newton插值的计算量小于Lagrange插值由插值多项式的唯一性可知,〃次Newton插值多项式与〃次Lagrange插〃⑶值多项式是相等的,即N x=,它们只是表示形式不同因此Newton余项与Lagrange余项也是相等的,即,,X=*+1x/[x/…,%]=—~~—%%〃+1!•,%]=・・n\由此可得差商与导数的关系尸公泰勒系数”匕LK5G aQo=min{x.L^=max{x.}0in0in其中【例2】对上例的中的/X,求节点为与I的一次插值多项式,节点为%,占,々的二次插值多项式和节点为玉,玉,%2,3的三次插值多项式,解由上例知//=17,/阿0芭]=-8,f[x,x,x]=3012y[x,Xj,x,%]=1于是有024N]x=fx+f[x,X Kx700N\x=17—8x+2=—1—8x,N=fx+/[x玉]x-/+/[%o,x x]x-x九一MX20p20N2£——1—8x+3x+2x=3x^—2x—1A^x=f%+f[x,x]x-A+/[x,x,x]x-x x-x+f[x,30010012010Xj,x,x]x-x x-Xj%-X24o2232=3x-2x-1+x+2xx-1=x+4%-4x-l【例2】用Newton插值公式计算In
11.5O解如果仍取%=11,%=12,々=13点作抛物线插值,按表1计算,结果如下一阶差商二阶差商Xi yi=lwa
112.39791X-
11122.4849*
110120.
0870132.
56490.0800-
0.0035W=
2.3979+
0.0870-11-
0.0035-11-12X XXlnll.5^
11.5=
2.3979+
0.0870X
0.5+
0.0035X
0.5X
20.5=
2.442275若加节点用x=10,14Jnl0=
2.3026anl4=
2.639L lux四次插值多项式近似,则按表计算结果如下1yi=\nxi一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商Xi
102.30261*
10112.
39790.0953x-10%-
11122.
48490.0870-
0.
0041512132.
56490.0800-
0.00350n x-k
0.00022=
1013142.
63910.0742-
0.
002900.00020-
0.000005k=\所以lnll.5^A^
11.5。