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思维导图构建知识网络//「直线与圆相离:直线与圆的位置谷}-直线q圆的标准方程与圆相交直线与圆相切:圆的方程「圆与圆相离[圆与圆的位置关系圆的一般方程圆与圆相交_________________________________/第二章阶段复习课T圆与圆相切核心整合提升应用能力//题组一圆的方程已知圆C的圆心在轴的正半轴上,点遮在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为
1.X M0,W,则圆的方程为CA.x+22+y2=9B.x-22+^2=9C.%+22+y2=8D.x-22+y2=8【解析】选设圆二户,〃B.C:x-Q2+y
20.把点代入得,MO,V§“2+5=/.圆心到直线的距离为
2.y=0|2a-0|_4V5解得〃=尸.所以圆的方程为23Cx-22+y2=
9..已知圆和轴相切,圆心在直线%产上,且被直线截得的弦长为夕,求圆的2y-302C方程.【解析】设圆的方程为〃二金O2+y-b2由圆与轴相切得⑷二匕
①y又圆心在直线上,所以〃-氏
②x-3y=030,圆心份到直线尸的距离为公等由于弦心距%半径一及弦的一半构成直角三角形,3所以喟>+近产=尺
③联立
①②③解方程组可得V2a—a1—3,~
3.{bi或=1,12=-1,\r=/1=
33.2故圆的方程为032+5-12=9或+%+32+12=
9.【技法点拨】求圆的方程的关注点⑴根据已知条件,选择设标准方程还是一般方程,如果条件中涉及圆心、弦长、距离等条件,一般设标准方程;⑵结合圆的性质,如垂径定理、切线的性质等,简化方程形式或直接求圆的方程的系数.题组二直线与圆的位置关系已知圆C关于直线对称,且过点和原点x+y+2=0P-2,
20.⑴求圆的方程;⑵相互垂直的两条直线儿都过点若九/被圆所截的弦长相等,求此时直线的/24-1,0,2/1方程.【解析】⑴由题意知直线过圆的圆心,设圆心x+y+2=0C由题意彳导〃3+22+-222二屋解得a=-
2.+-4-22,因为圆心半径C-2,0,-2,所以圆的方程为声C%+22+
4.由题意知,直线儿的斜率存在且不为设心的斜率为匕则的斜率为2/20,bK所以l\y=kx+l,SP kx-y+k=0,1产__即x+ky+/21+1,1=
0.k由题意,得圆心到直线的距离相等,C/1,/2所以卜解得2k+k|/2+l|所以直线的方程为*尹二/i10或x+y+1=
0.【技法点拨】关于直线与圆的位置关系⑴位置关系的判断:一般利用几何法判断,即判断圆心到直线的距离与半径的关系.12弦长公式直线与圆相交时,圆的弦长/泮径厂,弦心距之间满足2d4相切:心到切线的距离等于半径、过切点且垂直于切线的直线过圆心.3已知圆:x2+y2+4x-4y-5=0与圆Ci:x2+y2-Ci8x+4y+7=
0.题组三圆与圆的位置关系⑴证明圆与圆相切,并求过切点的两圆公切线的方程;2⑵求过点且与两圆相切于⑴中切点的圆的方程.2,3【解析】⑴把圆与圆都化为标准方程形式得G G0+22+822=13,x-42+y+22=
13.圆心与半径长分别为G-2,2,ri=V13;C4,-2,r=V
13.22因为二旧二门+所以圆与圆相切.|GC2|J-2-42+2+22=22Ci Qif%2+y2+4%-4y-5=09tx2+y2-8x+4y+7=0,得即12x-8y-12=0,3x-2y-3=0,就是过切点的两圆公切线的方程.⑵由圆系方程,可设所求圆的方程为元-丁一元-%2+2+445+232,-3=
0.点在此圆上,2,3将点坐标代入方程解得尼.所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+±3x-2y-3=0,3即x2+y2+9=
0.【技法点拨】L关于两圆的位置关系一般利用几何法判断两圆的位置关系,即判断圆心距与两圆半径的和差的关系,另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的,可以利用位置关系判断公切线的条数,反之亦然.
2.两圆的公共弦长将两圆的方程作差,即可得到公共弦所在直线的方程,再利用其中一个圆,构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长.。