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第2节一元二次不等式及其解法考纲展示
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,会解一元二次不等式.
2.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系..二:侬*必备知识一知识梳理
1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式△0△=0△0△=b2-4ac二次函数y=ax2+bx+ca0的图像VJ/O\x x xi=2有两相有两相异实根没有等实根一兀一次方程X|,X2X1X2b实数根ax2+bx+c=0a0的根X尸X2ax2+bx+c0{x|x〈Xi或xxj2a Ra0的解集ax2+bx+c0{x xKxN}00a0的解集
2.一元二次不等式ax2+bx+c0a0的求解过程用程序框图表示为因为-X-22+4W4,所以a
4.故选C.角度三给定参数范围的恒成立问题[例5]若mx2-mx-l0对于me[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.解设gm=mx2-mx-1=x2-x1,其图像是直线,当me[1,2]时,图像为一条线段,同,91V°,pnf x2~x~l0,叱⑵V0,吗2%2-2XLVO,解得当故实数X的取值范围为子,等.目反思归纳一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量X范围的方法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解1[对点训练5]2021•江西宜春高三三模对任意ae[-1,1],函数fx=x2+a-4x+4-2a的值恒大于零,则实数x的取值范围是A.Kx3B.xB.xl或x3C.lx2D.xG或x2解析:对任意ae[-1,1],函数f x=x2+a-4x+4-2a的值恒大于零.设ga=x-2a+x2-4x+4,即ga0在[T,1]上恒成立.ga在[-1,1]上是关于a的一次函数或常数函数,其图像为一条线段.则只需线段的两个端点在x轴上方,乜加-1=x2-5x4-60,g1=x2-3x+20,解得x3或xl.故选B.考点三一元二次不等式的实际应用[例6]甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品生产条件要求IWxWlO,每小时可获得的利润是1005x+l-2元.X1要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求X的取值范围;2要使生产900千克该产品获得的利润最大,问甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.解⑴根据题意,得2005x+l-423000,X整理得5x-14--^0,即5x-14x-3^0,X又IWxWlO,解得3WxW
10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x的取值范围是[3,10].2设利润为y元,则1005x+l--X X=9X10*5+i-4X=9X101—31-12^l],+故当x=6时,ynu,x=.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大,最大利润为元.目反思归纳求解不等式应用题的四个步骤⑴阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.2引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.⑶解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.4回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.[对点训练6]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x0〈x〈l,则出厂价相应地提高比例为
0.75x,同时预计年销售量增加的比例为
0.6x,已知年利润二出厂价-投入成本义年销售量.1写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例x的关系式;y⑵为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内?解1由题意得y=[121+
0.75x-10l+x]X10000X1+
0.6x0xl,整理得y二-6000X2+2OOOX+200000xl.即OOOx2+2OOOx t00,解得0xix1,•J所以投入成本增加的比例应在0,3范围内.:酷.二萨学科素养数学探索一一探索转化与化归思想在不等式中的应用不等式恒成立问题是高考的一个热点,解决不等式恒成立问题常常需要转化为函数的最值问题,解题过程中体现了转化与化归思想的应用.[典例]2021•重庆高三模拟已知函数fx=-^-+ex-e x,若不等式fax2+fl-2ax21对x£R恒成立,则实数a的取值范围是A.0,e]B.[0,e]C.0,1]D.[0,1]解析因为fx=六+cx-e;人+21所以f x+f+ex-e+e x-ex=-^+-l—^1,/I X4I X乙I X乙I X令gx=f x-i则gx+g-x=0,可得gx是奇函数,又g,6六,+ef・,熹%e+±遇p又利用基本不等式知e+^22,当且仅当e二,即x=0时,等号成立;exex一^-W当当且仅当2,二白2%+亦+242X即x=0时,等号成立.故g x0,可得gx是增函数,由f ax2+f l-2ax fax2--^~f l-2ax[f l-2ax--],222即g ax2-g1-2ax=g2ax-1,即ax2-2ax+l20对x£R恒成立.当a=0时,显然成立;当aWO时,需h Ke得0-A=43-4a0,综上可得OWaWl.故选D.试题情境:课程学习情境必备知识函数的单调性与导数的关系,函数的奇偶性,一元二次不等式及其解法关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力学科素养:数学探索■素养演练2021•宁夏固原高三期末若对x£-8,—1]时,不等式小2避2@晨1恒成立,则实数m的取值范围是.解析:不等式加2』2,-晨1转化为m化简为m令t=^,又X£-8,-1],则[2,+8,2人即m2-mt2+t恒成立,令ft=又t£[2,+8,当t=2时,f t取最小值ft=f2=6,rain所以m2-m6恒成立,化简得m2-m-60,解不等式得-2〈水
3.答案-2,3二备选例题・,…[例1]2021•广西南宁高三模拟已知集合A={x£Z|x2},B={x|x2-x-60},则A AB等于A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-2,-1,0,1}解析由题意B={x|X2-X-60}={x|-2x3},则AAB={-1,0,1}.故选C.[例2]不等式等21的解集为2+xA.[-2,-1]B.-2,-1]C.-2U-i,+821D.-8,—2]U+84解析:录2三T2°*2°辞2°筑W2%+1%+20,%+200-2y.故选B.[例3]2021•重庆高三月考•已知不等式016-16-2忘0的解集为4不等式nx-l x-20的解集为B,其中m,n是非零常数,财mn0”是“A UB二七的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:
①当mn0时,若m0,则n0,此时,A=[1,2],B=-oo,1u2,+8,所以AUB二R;若m0,则n0,此时,A=-8,i]u[2,+-,B=l,2,所以AUB二R,故“mn0”是“AUB=R”的充分条件.
②当AUB=R时,若m0,此时A=[l,2],n0,此时B=l,2,不满足题意,当n0时,13二-8,1u2,+8,符合题意,此时mn0;若m0,此时A=-oo,1]U[2,+8,当0时,B=-~,1U2,+8,不符合题意,当n0n时,B=l,2,满足题意,此时mn
0.故mn0”是AUB二R”的必要条件.综上可知,“mn〈O”是“AUB二R”的充要条件.故选C.[例4]当且仅当a£m,n时,巴空3对x£R恒成立,则m+n=.l-x+xz解析因为l-x+x20恒成立,所以原不等式等价于2-ax+x23d-x+x2,即2X2+a-3x+l0恒成立.所以△二a-32-80,3-2V2a3+2V
2.依题意有m=3-2V2,n=3+2位,所以m+n=
6.答案
63.分式不等式与一元二次不等式的关系⑴二〉0等价于x-ax-b
0.x-b2二0等价于x-a x-b〈
0.x-b⑶七£20等价于20,.x-b k.x-b H04汇.0等价于1二加久切三°,x-b ix-b
00./基础口测
1.判断下列结论的正误.正确的打“J”,错误的打“x”⑴不等式兰0的解集为[-1,2].x+l⑵若不等式ax2+bx+c0的解集为XI,x,则必有a
0.3若方程ax2+bx+c=0水0没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的2解集为R.4不等式ax,bx+cWO在R上恒成立的条件是a0,且△=b2-4ac^
0.答案1X2V⑶义⑷义
2.教材改编题不等式x2+2x-30的解集为C A.{x|-3xl}B.x|-lx3}C.{x|x-3或xl}D.{x x-l或x3}解析:根据题意,方程x2+2x-3=0有两个根,即-3和1,则x2+2x-30的解集为{x|x-3或xl}.故选C.
3.不等式的解集是Cx-3A.-°°,1U[3,+8B.-0°,1]U3,+8C.[1,3D.[1,3]解析:不等式EW等价于所以不等式的解集是[1,
3.故选C.
4.若关于x的不等式ax2+bx+20的解集是-1,1,则a+b=.解析因为X1=-|,X2=---+2=0,所以42解得居22-+-+2=0,是方程ax2+bx+2=0的两个根,所以a+b=-
14.答案:T
45.已知不等式x2-2x+k2-l0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为解析:由题意,知△=4-4X1X解-10,即k22,所以k或或k-V
2.答案-8,-鱼u V2,+°°…,.通解■关键能力如考点一一元二次不等式的解法角度一不含参的不等式的解法[例1]解下列不等式1-3X2-2X+8^0;20x-x-2^4;3—^-
1.x-5解1原不等式可化为3X2+2X-8^0,即3x_4x+2WO,解得-2WxW士,3所以原不等式的解集为{x|-2Wx.⑵原不等式等价于片;%一:°;xz-%-24伊一%-20,I X2-X-60%-2%+10,卜2或%-1,I x-3x+20I-2%
3.借助于数轴,如图所示,-2-10123原不等式的解集为{x|-2^x-l或2xW3}.⑶将原不等式移项通分得丝金°,等价于产二产一5二°,解得5或x.xA5%-50,3所以原不等式的解集为{x Ix或x5}.月反思归纳1解一元二次不等式的一般步骤一化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.二判计算对应方程的判别式.三求:求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根.四写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.⑵分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式组求解.L^40«0fx•gx0«0;[对点训练1]1不等式2--3X+10的解集是;22021•吉林长春高三模拟不等式乂x的解集为.?X------------------------------解析1因为2/-3x+i92T,所以x-3x+K-l,即X2-3X+20,解得lx2,故不等式的解集为1,
2.2由题意得、x0,即20,X X即xl-x20,即xx-l x+10,所以俨仇或俨°,见以X-1%+10^X-1%+10,解得xl或-lx
0.所以不等式的解集为T,0U1,+
8.答案11,22-1,0U l,+oo角度二含参的不等式的解法[例2]解关于x的不等式:ax-a+lx+l〈0a£R.解:若a=0,原不等式等价于-x+l〈0,解得xl.若a0,原不等式等价于x-i x-l0,解得xd或xi.a若a0,原不等式等价于(x)(xT)〈O.a
①当a=l时,i=l,(X、)(xT)〈O无解;a a
②当al时,乂1,解(x、)(x-l)0,a a得“1;a
③当0al时J1,解(x-i)(x-1)0,a a得1X-.a综上所述,当a0时,解集为{x|xd或xl);a当a=0时,解集为{x|xl};当(KaG时,解集为{x|l〈xT};a当a=l时,解集为0;当al时,解集为{x|乂x〈l}.a.反思归纳解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据⑴二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式A与0的关系.⑶确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.提醒
(1)当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.⑵含参数讨论问题最后要综上而亚[对点训练2]解关于x的不等式:ax2-222x-ax(a£R).解:原不等式可化为ax2+a-2x-2^
0.
①当a=0时,原不等式可化为x+1W0,解得xW—L
②当a0时,原不等式可化为x=x+120,解得x浜或xWT.a a
③当a0时,原不等式可化为x二x+lW
0.a当马一1,即a-2时,解得-lWx*;a a当二T,即=-2时,解得x=-l;aa当马-1,即-2a0时,解得WxWT.a a综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|xWT};当a0时,不等式的解集为{x|x浜或xWT};a当a-2时,不等式的解集为{x|-;a当a=-2时,不等式的解集为{x|x=T};当-2a0时•,不等式的解集为{xlaWxWT}.a考点二一元二次不等式恒成立问题角度一在R上的恒成立问题[例3]2021•云南玉溪高三三模对于任意实数x,不等式a-2x2-2a-2x-40恒成立,则实数a的取值范围为A.{a|a2}B.{a|a^2}C.{a|-2a2}D.{a|-2a^2}解析:当a-2=0,即a=2时,-40,恒成立,符合题意;当a-27^0时,由题意知,a-20,解得-2a2,4a-22+16a-20,所以-2a
2.故选D.g反思归纳一元二次不等式恒成立问题的求解策略1不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立{:短”或20⑵不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立b=g[^2[对点训练3]设a为常数,对于x£R,ax2+ax+l0,则a的取值范围是A.0,4B.[0,4C.0,+°°D.-8,4解析对于x£R,ax2+ax+l0,则必有{△』比或a=,所以0Wa
4.故选B.角度二在给定区间上的恒成立问题[例4]设函数f x=mx2-mx-l.若对于x£[1,3设f x-m+5恒成立,求m的取值范围.解:要使f x-m+5在x£[1,3]上恒成立,即m x-|2+|m-60在x£[1,3]上恒成立.有以下两种方法法一令gx=mX、+和-6,xe[1,3].当m0时,g x在[1,3]上单调递增,所以gx=g30,即7m-60,max所以m4所以0m-;7当m=0时,-60恒成立;当m0时,gx在[1,3]上单调递减,所以gx=gl0,即m-60,m8X所以m6,所以m
0.综上所述,m的取值范围是{m|m|}.法二因为x2-x+l=x-12+^0,又因为mx2-x+l-60,所以.xz-x+l7T因为函数丫一二一小在口,3]上的最小值为3,%2-x+l X--Z+^7所以只需即可.所以m的取值范围是目反思归纳一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法1若f x0在集合A中恒成立,即集合A是不等式fx0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值或范围.⑵转化为函数值域问题,即已知函数fx的值域为则fx2a恒成立?艮,恒成立?〈艮f xmin2a,|J mNa;f xf xaxa,P nWa.[对点训练4]2021•北京高三期末对x G0,+8,若不等式巴4-x恒成立,则X实数a的取值范围是A.2,+8B.⑵+8C.4,+8D.[4,+°0解析:对x£0,+8,若不等式34-x恒成立,则a4x-x2=-x-2M,X。