一轮复习北师大版第六章第1节　不等关系与不等式学案

生僮弟八扁不等式不等关系与不等式考纲展示

1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.

2.了解不等式组的实际背景.

1..，知识梳理

1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系设a,b£R,则1aba-b0;2a=ba~b=O;3aba-b

0.

2.不等式的基本性质性质内容注意■对称性abba■传递性ab,bcac■可加性aba+cb+cc0!acbca b可乘性C的符号c0|acbca b■同向可加性a+cb+da bycdia b■同向同正acbdcd0所以

②符合题意；对于

③，当a=-l,b=l时，工《成立,而ab不成立，当a=l,b=-l时,ab成立,而乂!a ba b不成立，所以工是ab的既不充分也不必要条件，a b所以

③不合题意.故选B.角度三求某些代数式的取值范围[例4]2021•陕西高三模拟已知-IWx+yWl,IWx-yW3,则8X•的取值范围是A.[4,128]B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1024]解析由题知

8、Qy=23x2y.设3x-2y=m x+y-n x-y=m-n x+m+n y,・所叫客U解得『=Im+n=-L,l—n故3x-2y=|x+y+|x-y,因为TWx+yWl,IWx-yW3,所以3x-2y=1x+y+|x-y e[2,8],乙乙因为y=2,单调递增，所以=23-七国,256].故选C.Z反睫纳g利用不等式性质求代数式的取值范围的方法应用不等式的性质求含有多个变量的代数式的取值范围时，由于变量间相互制约，在“取等”的条件上会有所不同则应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求待求整体的取值范围.解此类题目时要特别小心,必须依据不等式的性质进行求解，做到步步有据.［对点训练4］已知函数fx=ax+b,0〈fl2,-lf-11,则2a-b的取值范围是.解析由函数的解析式可知0a+b2,-l-a+bl,又2a-b=a+b-|-a+b,结合不等式的性质可得2a-b£-*|.答案G，角度四利用不等式性质求取值范围易混易错［例5］设f x=ax2+bx,若W2,2Wf⑴W4,则f-2的取值范围是.铲解.由/一

①钥解.由日工/⑴工生倚日工+人工生1—1—2,zg£1a-b2,0

②①+

②得％aW3,

②-

①得XbWl.22由此得4f-2=4a-2bll.所以f-2的取值范围是答案:［4,11］易错分析:在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.正解:法一设f-2=mf-1+nflm,n为待定系数，则4a-2b=ma-b+na+b,即4a-2b=m+na+n-mb.年县徂P11+九=4,解得二;q7tn~m=所以f-2=3f-l+fl.又因为l^f-l W2,2fl

4.所以53f-l+fl10,故5Wf—2W

10./-I=a-b,/l=a+b,法二由a=1[/-l4-71],乙所以f-2=4a-2b=3f-1+f⑴.又因为IWf-1W2,2Wf1W4,所以5^3f-l+f1^10,故5Wf-2W

10.法三由^确定的平面区域如图阴影部分所示,12a+4D当f-2=4a-2b过点A|,1时,取得最小值4x|-2xi=5,乙乙乙乙当f-2=4a-2b过点B⑶1时,取得最大值4X3-2X1=10,所以5Wf-2W

10.答案[5,10]备选例题二1•・・例1］若a0,ay〉O,且x+y0,则x与y之间的不等关系是（）A.x=y B.xy C.xy D.xNy解析由a0,ay0,可知y0,又由x+y0,可知x0,所以xy.故选B._例2］2021•宁夏高三一模已知a,b,c满足abc,且ac0,则下列选项中一定能成立的是A.abac B.c b-a0C.ab a-c0D.cb2ca2解析:取a=-l,b=-2,c=-3,则ab=2ac=3,cb2=-12ca2=-3排除A,D;取a=3,取2,c=l,则cb-a=-l0排除B;因为abc,且ac0,所以a,b,c同号，且ac,所以ab a-c

0.故选C.［例3］2021•黑龙江哈尔滨月考已知a,bGR,且c0,则“ab”是的a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a=1,b-1时,满足a〉b,但不满足£吟,故由ab推不出々三a ba b当a=-l,b=l时,满足£号,但不满足ab,故由々:推不出ab,a ba b所以“a〉b”是“£号”的既不充分也不必要条件.故选D.a b，［选题明细表］知识点、方法题号用不等式组表示不等关系7,11,14比较两个数式的大小2,6,9不等式的性质及应用1,3,4,5,8,10,12,13,15——基础巩固——

1.2021•湖北武汉高三模拟已知a,b,ceR,则“ab”的一个充分而不必要条件是D A.a2b2B.a3b3C.2a2b D.ac2bc2解析因为由ab推不出a2b2,由a〉b2也推不出ab,故A不满足题意；因为ab3ab,2a20a〉〉所以B,C不满足题意；因为由知2〉血2可以推出ab,由ab推不出ac2bc

2.所以知2血2是ab的充分不必要条件.故选D.

2.若fx=3x2-x+l,gx=2x2+xT,则fx,gx的大小关系是BA.f x=g xB.f xgxC.fxgx D.随x值的变化而变化解析:f x-g x=2-2+2=-12+l0,则f xgx.故选B.X X X

3.若b〈a〈0,则下列不等式正确的是D A.--B.aba2a bC.|a||b|D.-+-2a b解析:对于A,由因为ba0,可得ab0,b-a0,a bab所以::〈o,即工《，a ba b所以A不正确；对于B,由ab-a2=a b-a,因为ba0,可得ab-a2=a b-a0,所以aba2,所以B不正确；对于C,由ba0,可得-b-a,又由|a|二-a,|b|二-b,可得|a|〈|b|,所以C不正确；对于D,因为ba0,可得与0,，0,a b则-=2,I-•a b7a b当且仅当也£即a二b时,等号成立，a b又因为aWb,所以a b所以D正确.故选D.

4.若a,B满足-则的取值范围是（B）A.-na-3n B.-na-30C.--a-3-D.--a-0o222解析因为-又a3-,故B-,贝卜且a-B0,2222所以—Ji〈a—B

0.故选B.

5.已知xyz,x+y+z=0,则下列不等式成立的是（C）A.xyyz B.xzyzC.xyxz D.x|y|z|y解析因为x〉yz,x+y+z=0,所以3xx+y+z=0,3zx+y+z=0,所以x0,z

0.所以由t2可得xyxz.故选c.Uz

6.若log2xTog2y〈logpHog工y,则下列不等式一定成立的是B22A.ey-x1B.lgy-x+l0C.lny-x0D.--x y解析由题意知x0,y0,log x-log ylogix-logiy,2222得log2—logl—=log2—,i yy x即x2y2,yx所以0xy,故y-x0,所以A错误；lgy-x+l〉0,B正确；当y-xe0,1时，Iny-x0,C不一定成立;由0xy,易得工狂,故D错误.故选B.%y

7.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜园的面积不小于216inz,靠墙的一边长为x叫其中的不等关系可用不等式组表示为.解析:矩形靠墙的一边长为x叫则另一边长为1m,即15-9叫0%18,根据题意知卜

216.0%18,答案力216m=2,

8.若实2数x,y3满足tn=-

1.3xy28,4-9,则巳的最大值是.？y y4解析:法一由3xy28,4^-^9,可知x0,y0,且评之或316马81,由y8xyz3yz33不等式的性质，得2^27,故3的最大值是

27.法二设缶mxy2n,则3y-4=x2ra+ny2n-m,4xy4y所以图又因为16W§V81,探x/y33所以2W-W27,故+的最大值为

27.y4y4答案27——综合运用——

9.（2021•江苏泰州高三期末）已知x=log0」5,y=log V5,贝U（B）7A.x+yxy0B.xyx+y0C.x+y0xy D.xy0x+y解析因为x=logo」5二黑；二Tg50,IgO.1y=log V5=1log5=^-0,221g777所以xy0,又因为x+y二乎Tg5」g521g7J21g7°21g7因为l-21g7=lg10-lg490,所以x+y0,XH^J^=-+-=log

0.1+log/F7=log

0.l+21og7=log

0.lX49=log

4.91,xy xy755555所以詈i，且xy，所以x+y〉xy,所以xyx+y

0.故选B.

10.已知三个不等式:ab0,bc-ad0,--^0（其中a,b,c,d均为实数），用其中两个a b不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为（D）A.0B.1C.2D.3解析:

①由ab0,bc-ad0,即bcad,得£〉4,即£,〉o；a ba b

②由ab0,—0,即£之得bcad,即bc-ad0;a ba b

③由bc-ad0,—0,即竺竺〉0,a bab得ab

0.故可组成3个正确的命题.故选D.

11.（2021*安徽高三月考）现有一台不等臂的天平，它有左右两个托盘，若同一个物体放在左右托盘各测一次所得的质量分别是a,b（单位:g）,则下列关于物体的真实质量m表述正确的是（C）A.B.my/abC.D.mVob解析:根据题意,设天平的两个力臂的长度分别为L,L,且若两次称重结果分别为a,b,且aWb,根据杠杆平衡条件FJkF2I2有aX10-3XgXlFmX10-3XgXl,mX10_3XgXlFbX10^XgXl,22所以m2=ab,即m=Vab.又偌~（VaF）2=a+b^2ab0,所以即m—.故选C.（-ab=j^

2212.（2021•北京高三二模）能够说明“若a,b,m均为正数,则竺竺〉是假命题的a+m a一组整数a,b的值依次为.解析:若竺竺就是假命题,则竺a+m a a+m a又a,b,m都是正数，所以a（b+m）Wb（a+m）,所以am Cbm,所以aWb,故当a=b二l时,竺”〉色是假命题.a+m a答案1,1答案不唯一

13.已知4ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+cW3a,则£的取值范围a为.ab+c3a,a+bc,a+cb,{1-+-3,CL CL门”+论3,CL CL-y1,a a所以」所以CL CL两式相加得O〈2X£〈4,a所以上的取值范围为0,

2.a答案0,

214.若a克不饱和糖水中含有b克糖,则糖的质量分数为之这个质量分数决定了a糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式丝”26功0,1!1〉0,数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等a+m a式可得出log2log10ffl或“”填空，并写出上述结论所对应315的一个糖水不等式.解析:因为0log2l,所以可得31抽2二迎〈警犯注〈警与logJO.log3log3+l log3log155555由log2logi10——=;———,BP-————।“I rccln2/lnl0In2+ln5ln2+ln5ln2n nnx35i ini5In3+ln5In3+ln5ln3n3套案.In2+ln5^1n2口In3+ln5ln3——拓广探索——

15.已知x,y为正实数,满足l^lg xyW2,3lg-^4,求1g x’y的取值范围.y施军:设a=lg x,b=lg y,贝I」1g xy=a+b,1g-=a-b,1g xly2=4a+2b,y设4a+2b=ma+b+n a-b,可乘性abQanbn可乘方性a,b同n£N,n，la〉b〉0V^〉VF为正数可开方性n£N,n

223.不等式的一些常用性质⑴倒数性质

①aab-4的充要条件是ab

0.a b

②a〈O〈b乂士a b⑵有关分数的性质若ab0,m0,则

①真分数的性质、

八、b b+m b.b-m7-;-b-m0；・a a+m a a-m

②假分数的性质、

八、a.a+m a a-vn7-;-.b b+m bb-m/基础自测

1.判断下列结论的正误.正确的打“J”，错误的打“义”⑴两个实数a,b之间，有且只有ab,a=b,a〈b三种关系中的一种.⑵若21,则a〉b.b⑶一个不等式的两边同加上或同乘同一个数,不等号方向不变.4ab0,cd0--.d c⑸若ab0,则ab--.a bm+n=4,所以｛m^n=2,x所以1g x4y2-31g xy+lg J因为3W31g xyW6,3Wlg W4,所以6Wlg xyWlO,取值范围为[6,10].答案⑴J2X3X4V5V

2.设M=x*N二-x-1,则M与N的大小关系是A A.MNB.M=NB.M=NC.MN D.与x有关解析:M-N=2++1=+-2+-0,X XX24所以MN.故选A.

3.限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是D A.v40km/h B.v40km/hC.vW40km/h D.vW40km/h解析由汽车的速度不超过40km/h,即小于等于40km/h,即vW40km/h.故选vD.

4.教材改编题若a,b都是实数，则“五-VF〉0”是“1+〉0”的A A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:VH-VF〉0G〉VSa〉ba2〉b2,即a2-b20,但由a2-b20/V^_VF

0.故选A.

5.已知ab0,且cd0,则与的大小关系是.H P解析:因为ab0,cd0,所以少2〉0,d c.二关键能力，…考点一用不等式（组）表示不等关系八题组过关I

1.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量（单位/千克）如下表:甲乙维生素A600700维生素B800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg配成至多100kg的混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为.fx+y100,解析依题意，有（之600%+700y56000,800%+400y62000,%0,0,x+y100,6%+7y560,2%+y155,%0,y

0.整理化简得x+y100,6%+7y560,2x+y155,%0,y0答案

2.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为X元，用X表示每天的利润不低于300元的不等关系为解析:若提价后商品的售价为x元,则销售量减少三口义10件，因此,每天的利润1为x-8[100T0xT0]元,则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式x-8[100-10x-10]^300,即x-28x+190^0,10WxW

20.答案2-28+190W010W W20XXX昌反睫纳用不等式组表示不等关系的常见类型及解题策略⑴常见类型

①常量与常量之间的不等关系.

②变量与常量之间的不等关系.

③函数与函数之间的不等关系.

④一组变量之间的不等关系.⑵解题策略

①分析题目中有哪些未知量.

②选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其他未知量.

③根据题目中的不等关系列出不等式组.考点二比较两个数或代数式的大小[例1]12021•山西高三模拟若ba0,m-a,设X2,Y二竺之则aa+mA.XYB.XYC.X=YD.X与Y的大小关系不确定22021•云南高三月考已知a二,b二,c二,则a,b,c的大小关系为A.cab B.acbC.cba D.abc解析1因为X-丫上一丝二二口aa+m a^a+m因为b〉a〉0,所以b-a〉0,又因为m-a,所以m b-a0,a+m0,aa+m0,所以X-Y=竽工

0.所以XY.故选A.a{a+mln2020/、x+l-xlnx⑵因为瞿二手罂黑二寿,构造函数fX二器xNe*\nb20211n2021X=--------------丁s x+1%%+12022令gx=x+l-xln x,则g’x=-ln x0,所以gx在［e；+8上单调递减，所以gxWge2=l-e2〈0,故『x0,所以fx在［e；+8上单调递减，ln2020所以f2020f20210曾二襦缶会黑lln alnbab,Ind u—y20212022同理可得In blncbc,故abc.故选C.昌反睫纳比较两个数大小的常用方法⑴作差法:其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子分母有理化等变形方法.2作商法:即判断商与1的关系，得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后,必须对商式分子分母的正负进行判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.⑶单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.⑷特值验证法:对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特值验证法比较大[对点训练1]1若a0,b0,则P=好+与q=a+b的大小关系为a bA.pq B,pWq C.pq D.pNq⑵若a二竽b=等,则a b填“〉”或“〈”.？解析1作差法PF=a-b=二b2_d i-i・a ba ba bb2-a2b-a fe-a2b+a abab因为a〈0,b0,所以a+b0,ab

0.若a=b,则p-q=0,故p=q;若aWb,则p-q0,故pq.综上,pWq.故选B.2作商法易知a,b都是正数，丝等二log89l,a31n20所以ba.答案⑴B2考点三不等式的性质及应用角度一判断不等式是否成立[例2]（2021•北京高三模拟）已知非零实数a,b满足ab,则下列不等式中一定成立的是（）11A.In alnb B.--a bC.a2b2D.a3b3解析:对A,当ab0时,不等式无意义,故A错误;对B,当a0〈b时，乂3故B错误；a b对C,当ab0时,a2b2,故C错误;对D,当ab时,小〈F成立,故D正确.故选D.反睫纳g判断不等式是否成立的方法⑴判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.⑵在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、不数函数的性质进行判断.[对点训练2]（2021•四川高三三模）已知a0b,则下列不等式一定成立的是（）A.a2b2B.abb2C.ln|-|0D.2a-blb解析:对于A,由a0b知,ab2不一定成立,故A错误;对于B,由ab-b2=b（a-b）0,知abb2,故B错误；对于C,取b=-则Ing=In1=0,C也不一定成立,故C错误；44b由aba-b0,知2a-bl,D项正确.故选D.角度二与充要条件相结合的问题[例3]（2021•浙江高三模拟）已知a0,b£R,则“a+三模是“a〈|b|的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由a+b0得a-b,因为a0,所以-b〉0,b〈0即-b二|b|,所以a〈|b|,故充分性成立；当a=2,b=3时，有a〈|b|,但a+b0不成立，故必要性不成立.所以“a+b0”是的充分不必要条件.故选A.昌反睫纳与充要条件相结合问题.用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确,要注意痔殊值法的应用.[对点训练3]（2021•湖南高三三模）设a,b,m为实数，给出下列三个条件:

①②anDbM；

③工其中使b成立的充分不必要条件是（）a baA.

①B.

②C.

③D.

①②③解析:对于

①,当a3b30t,ab成立,而当ab时,aX成立，所以£为3是ab的充要条件，所以

①不合题意；对于

②，当ani与bni时，由不等式的性质可知ab成立,而当ab,m=0时,anftbn不成立，所以an^bni是b的充分不必要条件，a。