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第章随机事件及其概率1()随1如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不机试验止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这和随机种试验为随机试验在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合.通常用大A,B,…表示事件,它们是的子集C,为必然事件,为小可能事件.0不可能事件(⑷的概率为零,而概率为零的事件小一定是小可能事件;同理,必然事件()的概率为而概率为的事件也不一定是必然1,1事件.如果事件的组成部分也是事件的组成部分(发生必有事件A B,A B⑶事妙)件的关ABBA A B A B,则称事件与事件等价,或称等于r\-DO中至少有一个发生的事件A B A BA Bs____________________________________者+Q__________________第三章二维随机变量及其分布1联离散型如果二维随机向量X,Y的所有可能取值为至多可列,且事1,称P{X,Y x,y}p i,j1,2-ij为的分布律或称为和的联合分布律.联=X,Y X Y\12yj11112P】JX22122P2J••••*xi Pilp..1J••*••这里具有下面两个性质:PgPu,如果存在非负函数,使对X,Y任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域,即口=〈有{X,Y|ax b,c yvd}D则称为连续型随机向量;并称为f x,y=X,Y1f x,y0;2f x,ydxdy
1.联合2设为二维随机变量,对于任意实数二元函数X,Y x,y,苏丫Fx,y P{X y}称为二维随机向量X,Y的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数分布函数是一个以全平面为其定义域,以事件的概率为函数值的一个实值函数.{,|Xx,Yy}1212分布函数具有以下的基本性质F x,y当X〉X]时,有F x,y NFx〃y;当y2〉无时,有F x,221F,F,y FaQF,L12112i2Fx,yFx,yF,yFx,y222112111•iJ.L2…j Pi JiUf x Xf yYX=x1匕PY y|X x;j iP丫=可」Px x|Y y4,Pfx|y--------------------Yfylx af xXX Y离散型fX,y=f xf yA T连续型
②正概率密度区间为矩形1—4————?2f x,y------------------.e11222Jl2,12若相互独立,为连X,X....X,X....X h,g1m随机变m+1n
2.和相互独立h X X,...X9X j…X mm+if INn特例若与独立,则:和独立X Yh Xg Y例如若与独立,贝!|和独立X Y3X+15Y—21Da其中SD为区域D的面枳,则称X,Y服从D上的均匀分布,记为X,Y~U D.图
3.2]—J——2j—r——fx,y------------------------------e212]1z z2Jl2]2是个参数,则称服从二维正态分0,5X,Y20,||11],,,♦12,由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍、,2,Y N.112,未必是二维正态分布.Y N,X,Y211ZZ,12个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布n22ii iii i相互独立,其分布函数分别为12n的分F xF xF x,X,…XJXn1F xF x•F x•••F x2max%X nF x1[1F x[l Fx]...[l Fx]min xix2xn第四章随机变量的数字特征设是离散型随机设是连续型随机变量,其概率密X XX x kE X xf xdxkEX xpkkk1Enkkk1kk:D X[x EX]2f xdx2J3EX+Y=EX+E Y,iiiii1i1充分条件和独立;4EXY=E XEY,X Y充要条件和不相关X Y⑶方1DC=0;EC=C2222充分条件和独立;充要条件5D X±Y=DX+D Y,X Y和不相关X Y无D X±Y=D X+DY±2E[X—E X Y^-E Y]f条件成立而无条件成立.E X+Y=E X+EY,BL P PI PBn,p npnpl p—22_1N,2n xfx dxii・i1EX xnJYJ1iJiJ--D X[x EX]2f xdxiiei X2Pjj2为与XXYXY11与记号相对应,X与Y的方差DX与D Y也可分XY别记为与XX YY对于随机变量与如果则称相关X Y,D X0,D Y0,XX当|时,称与完全相关:11«1,|=1XY完全相关正相关,当时1a0,负相关,当时30,0XY1212XY,,2,2,1212则与相互独立的充要条件是和不相关.XYXY相关属于而不属于的部分所构成的事件,称为八与口AA D八AD A2B的差,记为A-B,A-AB-A B或者、,它表示发生而不发生的事件.R人断者人人则表示人与不可能同As B08/808=,8时发生,称事件与事件互不相容或者互斥基本事件是互不相A B容的.称为事件的逆事件,或称的对立事件,记为丁它表示■A A AA不发生的事件互斥未必对立.结合率A BC=AB CAU BUC=AUB UC分配率ABUC=AUCCI BUCAUB ClC=ACUBC德摩根率।।——--——--设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P A,A AAA12u1111A1°♦•・12ni/P()PP-1
(2)...(n)n组成的,则有A,…12m若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型.对任一事件A,P A+B=P A+P B—PAB当不相容时,AB P AB=0P A+B=PA+P B⑺加当独立,AB PAB=P AP B,P A+B=PA+P B—P法公式A PB当时,BAP A—B=P A-PB定义设、是两个事件,且则称为事件发生A BP A0,A条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率更一般地,对事件尸.若则有Aj A・A,PAA...A J0,12nn-12…A PA1PA2A1PA3|A.A;n-,则称事件「口是相互独立的Pw I™,AB若事件、相互独立,且,则有ABpA0PA PA若事件、相互独立,则可得到与、与、K与也都相互K ITBPAB=PA PB;P BC=P BPC;PCA=P CPA122PB0i1,2,...,n,A UPAPBPA|B PBPA|B…PB PA|B n n全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题,全概率公式的题型将试验可看成分为两步做,如果要求第二步某事件的概率,就用全概率公式;12°1122°.则i njJJ1n if*•••9通常称为后验概率.贝叶斯公式反映了〃因果”的概率规律,并作n出了〃由果朔因”的推断将试验可看成分为两步做,如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率,就用贝叶斯公式nA An A每次试验是独立的,即每次试验发生与否与其他次试验发♦A An表p ATV P/kn Ak0k nPk ck PQ,・n kQL2…,n第二章随机变量及其分布设离散型随机变量X的可能取值为Xk k=l,2,…且取各个值的1概率,即事件X=XJ的概率为P X=x=p,k=l,2,…,K KK则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律.有时也用分X离散型随机变X12k厂.,PX xP”pO…量的分布律1p0,1,2…,2P「kK kk1设是随机变量的分布函数,若存在非负函数,对任意实数x则称为连续型随机变量称为的概率密度函数或密度函数,X fXO lofxdxfxdx