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综合检测试卷二(时间120分钟满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知等差数列{如}中,念+4=6,6/7=1b则S9等于()A.45B.54C.63D.72答案C解析由等差数列性质可得,〃2+〃4=243,则〃3=
3..9(1+〃9)9m3+7)9X14•
22263.
2.设函数火])=以3+0,若/(—1)=3,则a的值为()1-1A.—1B.T C.1D.T答案C解析(x)=3办2,().f-1=3〃=3,••a=1・
3.设公差不为零的等差数列{斯}的前几项和为斗,若4=2(〃2+3),则强等于()714一,A.T B—C.7D.14答案c解析公差不为零的等差数列{斯}中,+4=2(〃23),由等差数列的性质,可知+=231+〃4,则674=2(1+6/4)9由等差数列前〃项和公式,可知S7=7Q4,54=〃1+2+〃3+〃4=2(〃]+4),Si_7-47X2〃I+〃4所以51421+〃420+
4.
4.函数/U)=e—Me为自然对数的底数)在区间上的最大值是()A.1+-B.1C.e+1D.e-1e答案D解析f x=eA—1,令/x=0,得x=
0.又火0=e-0=1,/l=e-ll,八-1设等差数列{〃〃}的公差为d,•2〃1=2,〃2+〃8=1,・2〃i+8d=10,ci]=l d=199•••斯=1+〃—1X l=/i,;2〃,=1,b\=2,令〃=1,得加=23,即2=
2、.*.2=1,••也=2%,••也=2〃.2解法同选
①的第2问解法相同.
20.12分某商场销售某件商品的经验表明,该商品每日的销量y单位:千克与销售价格x单位元/千克满足关系式y=W+10x—6,其中3x6,〃为常数.已知销售价格为5元/人*J千克时,每日可售出该商品11千克.⑴求实数的值;⑵若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大值.解lVx=5时,y=ll,由函数式y=—£+10%—62,得£+10=11,:・a=
2.22由1知该商品每日的销售量==+10%—62,•/V•••商场每日销售该商品所获得的利润为/U=X—3[^^+10x—62=2+10x—3x—62,3VXV6,/x=10[x-62+2x-3x-6]=30x-4x-6,令/x=0,得x=4,当3x4时,/x0,函数於在3,4上单调递增;当4xv6时,/x0,函数7U在4,6上单调递减;.,•当%=4时,函数7U取得最大值44=
42.•当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为
42.・・
21.12分在等差数列{念}中,々2=3,45=9,等比数列{/〃}中,2=〃2,b=a.251求数列{诙},{瓦}的通项公式;2若c=a by求数列{金}的前n项和T.n n n n解1在等差数列{斯}中,设首项为0,公差为d.由2=3,5=9,0=1,所以a=2n—l.〃2=0+d=3,n解得d=
2.5=1+4=9,又设{与}的公比为外由/1=2=3,由=5=9,得夕=3,所以瓦=3〃.⑵金=4瓦=2〃-1・3〃,7;=3+3X32+5X33H——F2〃一1又31
①3〃=32+3义33+5X3,+…+2〃-3X3〃+2〃一lX3〃+i,
②由
①一
②得91—3D=3+2X一2L1X3〃+-27;=3+232+33+34H----------F3w-2n-lX3zl+1=-6+21—〃X3〃+i,所以G=3+S—1・3〃+L
22.12分已知函数/U=lnx—^GR.1当〃=0时,求曲线y=/x在点e,He处的切线方程;⑵讨论«r的单调性.解1当4=0时,/x=lnx+x,/x=;+1,/e=l+,/e=e+l,故切线方程是y—e+1=1+£%—e,一2*2+%+1
(2)r(%)=,x0,X即产Q+l〉・
①当QWO时,显然/a)〉o,
②当〃0时,令/(x)==0••JU)在(0,+8)上单调递增;则一2办2+工+1=0,易知其判别式为正,设方程的两个根分别为)XI,X2(X1X,12nt则加12=一五0,—2Q%2+X+1-2QQ—%lx—X2⑴=x
0.・X X令/Q0得x£0,X2,1+48〃+1其中X2=丫一噌+4•••函数段)在(o,1++1)上单调递增,在(1+1,+8)上单调递减.综上,当aWO时,人龙)在(0,+8)上单调递增;当GO时,段)在(°,止守上单调递增,在(止产,+J上单调递减.所以/Umax=/U=e—
1.
5.已知数列{〃〃}的前〃项和为S〃,且满足斯+5〃=1,则》+受+*^---------1号等于Cl\ci2〃39A.1013B.1035C.2037D.2059答案A解析V a-\-Sn=1,n当〃=1时,〃i+Si=l得〃i=;,当时,a〃-i+Si=l,•・斯+Sn—+S〃-1—0,•••数列{斯}是以J为首项,q=±为公比的等比数列.=1-g〃,.•.-+-+-+-+-=2+22+-+29-9=2,0-11=
1013.a\23硒
6.已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数R.它指的是,在自然情况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是RO=1+确认病例增长率义系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位天).根据统计,确认病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数为5天,根据以上R数据计算,若甲得这种传染病,则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为()A.81B.243C.248D.363答案D解析记第1轮感染人数为0,第2轮感染人数为〃2,…,第九轮感染人数为斯,则数列{知}是等比数列,公比为q=R,由题意/=1+40%义5=3,即(7=3,所以1=3,2=9,3=27,4=81,5=243,总人数为§5=3+9+27+81+243=
363.
7.对任意的x£R,函数应¥=^3+以2+7以不存在极值点的充要条件是A.0WQW21B.Q=0或Q=7C.Q0或〃21D.Q=0或Q=21答案A解析f x=3x2+2cix-\-7a,当相应一元二次方程的根的判别式/=42—84〃W0,即0W〃W21时,/20恒成立,此时函数於不存在极值点.故选A.
8.已知定义在R上的函数,/U的导函数为/⑴,满足/幻一心〈一1,且.仆+2为偶函数,14=2,则不等式火xe+l的解集是A.0,+8B.—8,-1C.一8,0D.1,+8答案A解析y=/x+2为偶函数,••・y=/a+2的图象关于x=0对称,的图象关于x=2对称,••优4=/⑼,又74=2,・・••的=2,・设血尸受
1.㈤丁幻+则g.J1,x—/%—1,.f x-/x+l0,x,,y=ga在定义域R上单调递减,\-Xxex+1等价于gxL「拒-12-1・・又•g0=~-~1-=1,•••不等式式幻8+1的解集等于gxvg0的解集,又•••gx在R上单调递减,•••x〉0,.\/xer+1的解集为0,4-
00.
二、多项选择题本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分
9.在递增的等比数列{为}中,S〃是数列{斯}的前〃项和,若“144=32,念+3=12,则下列说法正确的是A.q=\B.数列{S〃+2}是等比数列C.S=5108D.数列{lga〃}是公差为lg2的等差数列答案BCD解析由题意,根据等比中项的性质,可得423=14=32〉0,2+3=12〉0,故.20,〃3根据根与系数的关系,可知是一元二次方程的两个根.解得或3X2—12x+32=02=4,43=8,2=8,43=
4.故必有公比q〉0,“
20.q••等比数列{斯}是递增数列,♦,满足题意.2=4,43=8:・q=2,ci\=-=2,故选项A不正确.qcin=ci iq〃i=
2.—21—2〃•On-]_2-Z・・・S〃+2=2〃+i=42Li.,数列{S〃+2}是以4为首项,2为公比的等比数列.故选项B正确.58=28+1—2=512—2=
510.故选项C正确.Vig a=\g2〃=g
2.n•数列{lg〃〃}是公差为Ig2的等差数列.故选项D正确.・・
10.对于函数“¥=161nl+x+x2—10x,下列说法正确的是A.x=3是函数/U的一个极值点B.兀x的单调递增区间是一1,1,2,+8C./U在区间1,2上单调递减D.直线.y=161n3—16与函数y=/U的图象有3个交点答案ACD1口二分,口/16,2x2—8x+6解析由题意传/x=--10=,X—1,人JLI JLIe/V令可得2X2—8X+6=0,X=1,X=3,则Xx)在(3,+8)上单调递增,在(1,3)上单调递减,Ax=3是函数於)的一个极值点,故AC正确,B错误;V/(l)=161n(l+1)+12-10=161n2-9,/3)=161n(l+3)+32-10X3=161n4-21,又y=161n3—16=42),根据«r)在(1,3)上单调递减得/U)次2)次3),即161n3-16161n2—9』61n3-16161n4-21,•直线y=161n3—16与函数y=/U)的图象有3个交点,故D正确.・・
11.设等差数列{斯}的前〃项和为S〃,且满足Si50,Si60,则()A.〃80B-Q9VoC.y,事…,朝中最大的项为六D.y,y,…,空中最大的项为受Cl\ci20548答案ABDt15(1+15)/口__,16(]+16)16(9+8)角牛析由Sl5=5=15〃80,何〃h80,A正确.由S16=5=5^0,得9+〃80,所以90,且dv,B正确.因为d0,所以数列{〃〃}为递减数列.所以0,…,佻为正,9,…,斯为负,且S1,…,S15为正,S16,…,S为负,则3…,V为正,V,…,CI]89芈为负,C错误.当后8时,S〃单调递增,斯单调递减,所以*单调递增,所以3兴…,15Cl\2芈中最大的项为*,D正确.X—
112.已知函数4x)=—第一,则下列结论正确的是()A.函数/U)存在两个不同的零点B.函数4X)既存在极大值又存在极小值C.当一eN0时,,方程危)=攵有且只有两个实根D.若X3,+8)时,/(初皿=合,则,的最小值为2C答案ABC解析A项,启)=0今/+工一[=0,解得冗=二^后,所以A正确;/—%—2x+lx-2B项,/x=一当/x0时,一lx2,当/x0时,x-l或x2,—8,-1,2,+8是函数的单调递减区间,一1,2是函数的单调递增区间,所以八-1是函数的极小值,42是函数的极大值,所以B正确;C项,当了趋向于+8时,y趋向于0,根据B项可知,函数的最小值是4一l=-e,再根据单调性可知,当一eN0时,方程有且只有两个实根,所以C正确;D项,由图象可知,/的最大值是2,所以不正确.
三、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.在等比数列{斯}中,0=2,44=4,则〃7=.答案8解析由〃4=@,得析=2,.\=aiq6=aiq32=
8.ai
14.已知不等式e1—12日+lnx,对于任意的x£0,+8恒成立,则左的最大值为答案e-1AA—In Y—1解析移项,得到ZW——人e—In x-1e”x—l+ln x则〃x=构造函数〃x=——一,当x£0,l时,hf x0,/zx单调递减,当x£l,+8时,hf x0,力工单调递增,故当x=l时,/zx取到最小值e—l,故女的最大值为e—
1.
15.已知¥=2l3—6/+〃〃为常数在[-2,2]上有最小值3,则/U在[-2,2]上的最大值为答案43解析因为兀=2%3—6/+〃,所以/⑴=6x2—12x=6xx—2,当x£—2,0时,f x0;当x£0,2时,/x0,所以函数«r在一2,0上单调递增,在0,2上单调递减,所以«r的最大值为式0=〃,又八-2=—40+〃,式2=-8+〃,因为一8+〃一一40+〃=320,所以一40+〃-8+〃,所以«x在[—2,2]上的最小值为/—2=—40+=3,所以=43,所以的最大值为40=
43.
16.已知递增等比数列{斯}的第三项、第五项、第七项的积为512,且这三项分别减去1,3,9后成等差数列.则{〃〃}的公比为;设5〃=尿+质+…+忌,则S〃的表达式为.答案也S〃=2#2—4解析•/等比数列{斯}的第三项、第五项、第七项的积为512,••a3a5a7=512,•则加=512,/.25=
8.由题意得—1+7—9=2小一3,即的+7=20,二•a5g2+〃5/=20,,q-2+夕2=5,••等比数列{处}递增,•贝I q=也••・a=a qn~5=8X血尸=的肘1,n5•欣=2〃+、•・.•・5〃=山+龙+・*・+曷=^-=2,+2—
4.i-q
四、解答题本大题共6小题,共70分
17.10分已知{“〃}是公差为3的等差数列,数列{瓦}满足力=1,历=3,a b+b=nb.⑴n n nn+I求{斯}的通项公式;⑵求{0〃}的前〃项和.解1由已知加=1,岳=3,a\b\4-b\=/2得〃i=2,.二数列{呢}是以2为首项,3为公差的等差数列,・・・斯=2+3〃—1=3几—1〃£N2由⑴知,3〃-1〃+〃=泌〃+i,即bn+l=3b〃,••数列{为}是以1为首项,3为公比的等比数列,・记{为}的前n项和为S〃,1—3〃3〃—1则〃5—£N*.1J乙
18.12分已知函数“¥=—13+〃尤2+云+以〃,b,ceR,且/-1=/3=
0.1求a-b的值;⑵若函数«Y在[-2,2]上的最大值为20,求函数/U在[-1,4]上的最小值.解1因为/%=—X3+OY2+/X+C,所以/x=—3x2+2ax+Z,因为/—1=/3=0,J—3X—12+2Q—1+〃=0,所以1―3X32+2〃X3+Z=0,解得丁,所以a—b=3—9=—
6.2由1可知«¥=—13+3X2+9X+C,则,x=-3x2+6x+9,令/x=,得x=—1,X=3,/%和7U随x的变化情况如下表X-2—2,—1—1—1,220+f x—於c+2极小值/c+22因为1-2=+2,犬2=+22,所以函数应在[-2,2]上的最大值为12=+22,所以c+22=20,解得c=-2,所以«x=—R+Bd+gx—2,综上可知於在[—1,引上单调递增,在[3,4]上单调递减;又因为八-1=1+3—9-2=—7,14=-64+48+36—2=18,所以函数於在[—1,4]上的最小值为一
7.
19.已知{斯}为等差数列,各项为正的等比数列{勿}的前〃项和为S〃,20==2,〃2+〃8=10,.在
①2S〃=勿一1;
②44=8—2S2+S
③劣=2小这三个条件中任选其中一个,补充在横线上,并完成下面问题的解答如果选择多个条件解答,则以选择第一个解答记分.1求数列{斯}和{勿}的通项公式;2求数歹!]{〃〃%}的前n项和T.n解选
①1设等差数列{斯}的公差为d,・2〃i=2,〃2+8=10,/.2^i+8t/=10,=d=l,/.a=l+n—lX l=nn9由加=2,XSn=b—ln9当n=\时,有/5=劝1=1—1,贝今I2=当〃22时,济=一S〃-1=23〃-1一23〃一1一1,即b=2b-\,nn所以仍〃}是一个以2为首项,2为公比的等比数歹上••也=2X2〃「=2〃.2由⑴知斯也=〃・2〃,.\7;=1X2,+2X22+3X23Hk〃X2,
①22〃=1X22+2X23+・・・+5—1X2〃+〃X2〃+I,
②21—2
①一
②得,-7;=2+22+23+-+2,7-MX2,1+,=-S7-一〃X2〃+lZ1—2A7;=n-lX2,z+1+
2.7选
②⑴设等差数列{处}的公差为d,•2〃]=2,42+8=10,/.2«1+86=10,=d=1,,斯=l+〃—1X l=/i,••4=4,设等比数列{为}的公比为观小>0,•.•Q4=S3—2s2+51,・必=S3—Si—Sz—S\=b3-b2=bq1—b\q,又・・・Q4=4,bi=2,••炉一q—2=,解得夕=2,或^=—1舍,•:・b〃=2X2〃—\=2〃.2解法同选
①的第2问解法相同.选
③。