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指数式和对数式比较大小五法方法一利用函数单调性同底的指数式和对数式以及同指数的指数式的大小,可以利用函数的单调性来比较.核心解读
1.比较形如暧与an的大小,利用指数函数y=的单调性.
2.比较形如log“m与log”n的大小,利用对数函数y=log/的单调性.3,比较形如屋与bm的大小,利用幕函数y二%根的单调性.例1比较下列各组数的大小O.303,
0.331log
0.8,log
8.82223O.303,33[解1利用函数=.3”的单调性.因为函数y=03,在R上单调递减,
0.33,所以
0.
3030.
33.2利用函数y=log2%的单调性.因为函数y=log x在0,+oo单调递增,
0.
88.8,所以log
20.8log
8.
8.223利用函数y=的单调性.因为函数y=姆在0,+oo单调递增,
0.33,所以O.30-
3303.方法二中间桥梁法既不同底又不同指的指数式、对数式比较大小,不能直接利用函数的单调性来比较,可利用特殊数值作为中间桥梁,进而可比较大小.1比较形如屋7与万〃的大小,一般找一个“中间值C,若且则诡若且少,则废常用到的特殊值有0和
1.0=logj,l=10ga4,1=4°2比较形如优与〃的大小,一般可以取一个介于两值中间且与题目中两数都能比较大小的一个中间值,即例2比较下列各组数的大小
11.904,
0.9244-912[解]1取中间值
1.废或者勿”,进而利用中间值解决问题.因为
1.9°
41.9°=1,
0.
9240.9°=1,所以
1.9°
40.
924.912取中间值布
2.Q1Q-q1Q--Q利用函数y=—v的单调性比较.3和―2的大小,易知―3―
2.利用函数y=X2A1a1A L01q1A L单调性比较一产和一尸的大小,易知_/〈—尸.所以3一
2.510510105补充:对于指数相同底数不同的两指数式比较大小,也可以通过做比与1比较大小的方法比较两数的大小.方法三特值代入法对于在给定的区间上比较指数式和对数式的大小的问题,可在这个区间上取满足条件的特殊值,代入后通过计算化简或避免复杂的变形与讨论,是问题简捷获解.例32008年全国卷理4文5若不£Q=lnx,b=21nx,c=ln%,则,A.abcB.cabC.bacD.bac[解]在区间67,1上取x=/5,通过计算知_1_1_11113a=\ne2=—,b=2Ine2=-1,c=In3e2=—=—,故bac,选C.228方法四估值计算法估值计算是指通过估值、合理猜想等手段,准确、迅速地选出答案.例42007年全国|卷理4文4下列四个数中最大的是.A.ln22B.lnln2C.lnV2D.In2c恒
20.3010“刀[解]因为In2=——xx
0.7,Ige
0.4343所以In p
0.49,lnln2In
0.70Jn/=lIn2比
0.35,故四个数中最大的是In2,选2D.[点评]本题按普通比较法求解,可以预见运算量不小,恐怕很难心算而得到结果,但通过估值,合情推理,几乎一望而答,这就是估算法的魅力.方法五数形结合法画出指数函数、对数函数和幕函数的图像,利用直观的图像往往能得到更简捷的解法.例52009年全国[卷理7设a=log7T,b=log,c=log夜,贝!j.323A.abcB.acbC.bacD.bca[解]在同一直角坐标系内画出对数函数y=log3%和y=log2%的图像,如下图所示由图像观察得a〉bc,故选A.[点评]本题也可以利用比较法求解.因为logs母log◎log6,所以bc,因为log2Glog22=l=22log33log3心所以ab,所以ab.但图像法解决问题比较直观、明了、容易比较出大小.。