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实数的大小比较的常用方法
一、法那么法比较实数大小的法那么是正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小例比较-冗与一石的大小1析解由于|一九|=兀-方|=石,且兀〉石,所以一九一石,1说明利用法那么比较实数的大小是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进展比较
二、平方法用平方法比较实数大小的依据是对任意正实数a、b有a2b2«abo例比较与省的大小23V77析解由于而所以疗百Ob=63,7^2=147,63147,37说明此题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进展比较
三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例3假设有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、一a、b、一b、c、—c的大小析解如图利用相反数及对称性,先在数轴上把数、
一、、
一、、表示的点画出来,2,a a b b c-c容易得到结论-cvb-avav-bc.
四、作差法差值比较法的基本思路是设为任意两个实数,先求出与的差,再根据a,b a b当时,得到a—b0abo当时,得至a—b0U abo当得至二a—b=0,U a bi例比较与二的大小⑵比较一行与一总的大小
115、、8-18-1i8-
21、解5-5=50,55o解—收〕—(—后)=后
一、回/2/5(110,1—A1—AO例、比较与的大小21-1-6解析因为道-班所以-有(1-)-(1-?)=0,1-1
五、作商法a a a一比较实数的大小的依据是对任意正数、有10ab;—=lua=b;—1^ab.a bb b b来比较与的大小a b出-11例比较与二的大小158-118-
11、、解后一5・8=11552008“+12008222+1例比较与的大小22008222+12008333+12008111+12008222+1m=TTZ,n=777析解设2008222+12008333+1,a=2008H1,那么a2=2008222,a3=2008333,山208+12008222+1gp2008222+12008333+1*...2009-2008।制fo例比较----与----的大小
3201020092009.20082009~200940360811々刀解-----=---X--------=----------1201020092010200840360802009,2008所以--------20102009
六、倒数法1倒数法的基本思路是设为任意两个正实数,先分别求出与的倒数,再根据当a,b a b7时:来比较与的大小6abo ab例比较与砺-的大小12004—^20030^2004•/2004-^2OT3=2004^2003,^/20M-^/2004=20^2004++又•:72004+^2003^20^72004+:.V2004-^2003A/20M-71004例、试比较一^与一^的大小2a152,2a+132+解网里=幺+工因为所以2+1aL2+13a a aaa、二[3a+23b120।2E,2o oo=一+—因为所以=3+—b2,3+—3b bbbbm^2a+\3Q+2ab匚匚2因为--------所以-----------ab2〃+132+例、那么,、、的大小关系是()3^a=^-72,b=2-^,c=75-2,b c、、、、A abcB acbC cbaD bca解析当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号一样时,可选用倒数法也+近=召+企L=]=旌道-超+首先,a6-6,-勺…+2—+211县-,因为君妻,所以b2-732-42+4275-2754-2c b,那么又因为所以那么〉由此可得应选bc2a,ab abCo A
七、平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据时,可由得到来比a0,b0ab较大小,这种方法常用于比较无理数的大小(72+,6)2=8+2^2解:例比较及后与石+后的大小5又,屈后:.垃+、后+耳8+28+2
八、估算法估算法的基本是思路是设为任意两个正实数,先估算出两数或两数中某局部的取值范a,ba,b围,再进展比较回-31例比较与艮的大小48屈-31解:飞〈任岳一V4,31,88九.比较被开方数法基本是思路是,当假设要比较形如而与后的大小,可先把根号外的因数与平a0,b0,aa c方后移入根号内,再根据被开方数的大小进展比较例比较与后的大小623解万=万;=伍,后=序二扬・.・233用》后XV2827,.23
十、特殊值法比较两个实数的大小,有时取特殊值会更简单1例当五时,的大小顺序是1V1X2,X,X o111解(特殊值法)取“二那么,=5,7=2M=|x|,N=|y|,P=13LLZl,Q=^例、设那么、、的大小关系是()2xy0,2I MN PQ、、、、A MQPNB MPQNC QNPMD NQPMP=2Q=2解析根据条件,不妨设那么不难得到因x=-4,y=-l,M=4,N=l,2o NQPMo此,应选D例
3、al,b2,那么一^____________一(填、或=)2a+13a+2分析为填空题,可用赋值法取代入,所以填入“〉〉〃a=2,b=3511例设()()那么、、、按由小到大的顺序排列正确4a=2°,b=—32,c=4,d=l,abc d的选项是)1分析可以分别求出、、、的具体值,从而可A.cadb B.bdac C.acdb D.bcad abcd以比较大小.解因为的,而一a=2°=l,b=—3y=9,c=¥^=—d=C=2,的所V1V2V9,以故应选c Vadb.A.除以上七种方法外,还有利用数轴上的点,右边的数总比左边的数大;以及绝对值比较法等比较实数大小的方法对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题能快速地取得令人满意的结果卜
一、中间值法(还是判不了,就把中人找)如果〈那么假设通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小,而另一个恰ac,cb,ab好比该数大时,可选用此法例、比较如+和候-的大小122解析因为所以如而一所以如+而一即M4,8+26,26262,加+而-242例、比较-和的大小
423.55-3294454解一即-二
3.55-
3.5-3-—323—
3.599944所以即——
3.55-
3.5-3-
3.55-3-9
十二、分子有理化法旧--44717+41而-4=解析J17+4而+4,-四内4-V1544+14-715=而4+例、比较屈-但巫的大小144-因为故所以+4+4,V^+44+^r,-44-。