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轮换对称不等式的证明技巧上海市宝山区教师进修学院王凤春轮换对称不等式形式优美,证明技巧很多,但规律难寻本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明,只要领悟添项的技巧,这类不等式完全可以程式化证明,供参考
一、凑项升塞法例1已知且为+y+z=l,求证«4x+l++1+J4z+1W、历分析由于当x=y=z=时,上述不等式的“=”成立,于是J4x+1=J4y+1=J4z+1=3证明因为2・JJ-j4x+l«g+4x+l,所以J4x+1«g2x+5,同理J4y+14g2y+5,74rrr^|2z+5,上述三式相加,并将x+,+z=i代入化简即得证
二、凑项降耗法2例2证明Cauchy不等式屏+£+-+%之⑷+2+…+厂n〃〃o cio2o cio2a〃证明设]+2+,,,+〃=,则+一Ncii»所以+〃•一N—,nn i=]nn/=]即22+...+*之⑷+矽+…+即产na+a
三、凑项去分母法例3设修,工2,…,X”是正数,且的+K2+…+/=1,求证—^-+—^-+…+以+-^-/1990年第24屈全苏数学奥林匹克十年级题2x\+x2必+均x〃-i+x”r〃+X]21v2分析由于当西=X2=…=%=一时等号成立,于是————=-干+芍+10~na+々+1411证明设X〃+]=X],因为-------++xx/+1z戈,•+匹+1420〃〃〃〃nX11/I所以Z—i—+-Zx+Zx Zx,即一2;//+I/i=\Xj4-X/+]4/=1i=\i=\i=lXj+X i+[2例4设a,b,cwR+,Kabc=1»求证———+——!——+——!——-1995年第36届IMOrb+c/c+ac3a+b2证明原不等式等价于题2当a=b=C=l时等号成立,此时c-2=Lb+c,所以,b2C2+-ab+cbc,同理,ah+c4ab+c4c+伏c+a之,ab+ch{c++aLac{+a/+h之2而,上述三式相加并化简得bc+a4ca+b4——+—+—之—{ah+bc+ca^—^jab-be-ca=—ab+cbc+aca+b222例5设角A、B、C满足cosA+cosB+cos21sin~Asin2Bsin2C-分析原条件等价于sinA+sin2B+sin C=2,当sin A=sin8=sin2c=2时等号成立,于是3l9sin^4^19snrfi^」^+驯亡£之3上述三式相加并化简得证,证明略+3+3sin2A4sin-B4sin-C4
四、凑项平衡系数法例6设z0,zNx+y,则x+2+z*产+么+g分析当x=y=^■时等号成立证明因为一十份2之五,,,2+%2之2,•|*2+,2之
3.q,
①,将上述三式相加并化简得,x2+y2+-z2—xz++自个
②555__oo4,26426所以,x2+,+zz—zz+—xz+yz+—xy—zx+y+—xz+yz+—555555O n76即x+y+z—yz+zx+xyo注只有
①式的系数凑成T,
②式中xy的系数才能是上述各种凑项方法不是相对独立的,可以交替使用,但凑项的关键是在求和时能利用已知条件,并能取到等号注本文发表于《上海中学数学》2003年第6期。