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集合及集合的表示(B层)【要点梳理】集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.要点一集合的有关概念
1.集合理论创始人是康托尔.
(1)集合的概念一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)(set).
(2)元素的概念构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)(element).
(3)对集合、元素概念的理解
①通常用英语大写字母A,B,C,…来表示集合,用英语小写字母从c,…来表示集合的元素.
②对于集合一定要从整体的角度来看待它.例如由“我们班的同学”组成的一个集合A,则它是一个整体,也就是一个班集体.
③要注意组成集合的“对象”的广泛性一方面,任何一个确定的对象都可以组成一个集合,如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象;另一方面,就是集合本身也可以作为集合的对象,如上面所提到的集合A,可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合8的元素.
④构成集合的元素必须是“确定的”,这个“确定有两个含义一方面•,构成集合的元素具有非常明确的特征;另一方面,给定个集合,那么任何一个元素是否属于这个集合是确定的.
⑤“不同”是指构成集合的各个对象互不相同.那么什么才是确定的对象?不能确定的对象(X)可以确定的对象2视力好的同学不戴眼镜的同学高个子的男生
1.8米以上的男生漂亮的女神生成绩在130分以上的女生课本中的难题高中数学人教B版必修1课本中的填空题接近于1的数大于10的自然数
2.关于集合的元素的特征特性含义示例理解集合A=1,2,3},则作为一个集合的元素,必须是确定的,不能确确定性是集合的最基本特性,定的对象就不能构成集合,也就是说,给定一164,4史A没有确定性就不能构成集合.个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素例如“课本中的难题聪明的也就确定了.设A是一个给定的集合,X是某一孩子”,其中“难题”“聪确定性个具体对象,则x或者是A的元素,或者不是明”因界定的标准模糊,故都A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.不能构成集合.对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不集合{尤/一灯中的x应满足互异性是三大特性中最容易被互异性同的(或者说是互异的),相同的对象归入同忽视的性质.例如由good中xwW-x,即XH0且XH2一集合时只能算作集合的一的字母构由a£Z,所以-Iga当a=-l时,—~7=1EN符合题意;5-(-1)当a=()时,”-二9WN不符合题意;5~05当a=i时,_L,=3/N不符合题意;5-12当a=2时,-9—=2EN符合题意;5-2当a=3时,—^-=3EN符合题意;5-3当后4时,£=6EN符合题意.5-4故a=-l,a=2,a=3,a=4为M中元素,即乂={-1,2,3,4},选项D正确.举一反
三、,【变式】(2015北京西城区期末)设={1,2},N={1,2,3},P=\(\c=a+b,aeM,bsN则集合P中元素的个数为.【答案】4个【解析】集合户中的元素满足=+力,且awM,b:N,所以由aeM,beN当加1时,=1+1=2;当=1,b=2时,c=1+2=3;当6=3时,c=1+3=4;当0=2,匕=1时,c-2+l=3;当=2,6=2时,c=2+2=4;当=2,/=3时,c=2+3=5;故根据元素的互异性,中元素,即尸;{2,3,4,5},答案为4个.例
7.
(1)设集合A={X£R|O+2X+1=()},当集合4有两个元素时,求实数的取值范围.
(2)设集合A={X£R|O+2X+1=0},当集合A为单元素集时,求实数的值.
(3)设集合A={x£R|or2+2x+l=0},当集合A为没有元素时(即为空集),求实数的取值范围.【答案】0,1【解析】
(1)由集合4中有两个元素可得,方程ax2+2x+l=0有两个不相等的实数解,当a#)时,则为一个二次方程,所以有两根的含义是该方程有两个不相等的根,即为判别式大于时的a的取值范围,可得f,八,.故a的取值范围且A=4-4670
(2)由集合A中只含有一个元素可得,方程ax2+2x+l=0有一解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论当a=0时,可得是一次方程,故满足题意.当存0时,则为一个二次方程,所以有一根的含义是该方程有两个相等的根,即为判别式为时的a的值,可求得为a=l.故a的取值为0,
1.3由集合A中没有元素可得,方程ax2+2x+l=0无解,由于本方程并没有注明是一个二次方程,故也可以是一次方程,应分类讨论当a=0时,可得是一次方程,有一个解,故不满足题意.当a#时,则为一个二次方程,所以该方程无解,即为判别式小于0时的a的取值范围,可得.故a的取值范围【总结升华】方程加+区+c=0根的情况1方程ad+/u-+c=0有两个不相等的实数根,则有[工,△=/--4ac0⑵方程—=有两个相等的实数根,则有忆L…或工a工03方程+历:+c=0没有实数根,则有1,或a=0,确保方程无解即可.A=/-4ac0例
8.已知集合A={a+2,a+l2M2+3〃+3},若leA,求实数的值及集合4【答案】=0,A={1,2,3}【解析】1若+2=1,则a=—
1.所以A={l,0,l},与集合中元素的互异性矛盾,则=一1应舍去.2若+12=1,则4=0或〃=-2,当〃=0时,A={2,1,3}满足题意;当=-2时,A={0,l[},与集合中元素的互异性矛盾,则=一2应舍去.3若*+3a+3=1,则=一1或=一2,由上分析知〃=一1与=一2均应舍去.综上,a=0,集合A={1,2,3}.【总结升华】本题中由于1和集合A中元素的对应关系不明确,故要分类讨论.此类问题在解答时,既要应用元素的确定性、互异性解题,乂要利用它们检验解的正确与否,特别是互异性,最容易忽视,必须在学习中引起足够的重视.举一反三【变式I】已知集合4={〃+2,/+2},3,求实数的值【答案】=-\a【解析】当+2=3,即=1时,A={3,3},不满足题意;当/+2=3,即=±1,=1时,A={3,3},与集合的概念矛盾,不满足题意舍去,=一1时,由上面知,满足题意故a=—\【变式2】已知集合A是由々-2,2/+5,12三个元素组成的,且-3wA,求=.【解析】由一3wA,可得一3=々一2,或一3=2^+5〃,由一3=-2,解得〃=一1,经过验证a=T不满足条件,舍去.由一3=2,/+54,解得a=T或-士,经过睑证4=一1不满足条件,舍去.:.a=--.故答案为一士.222【点评】本题考查了集合的性质、元素与集合之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.例
9.设A是实数集,且满足条件若46AM W1,则」一EA.\-a1若2wA,则A中必还有另外两个元素;2集合A不可能是单元素集;3集合A中至少有三个不同的元素.【答案】1-1,-2略⑶略2【解析】I若2wA,则一^二—l£A,于是一!—=-eA,故集合A中还含有一1,,两个元素.1-21--12211192若A为单元素集,则一,即+1=0,此方程无实数解,.•.4W——,.•.4与——1-67\-a\-a都为集合A的元素,则4不可能是单元素集.3由已知awAncAn——二上幺w A.现只需证明、,、立三个数互不相等.\-a]I-a\-a-a1-a
①若二-LnoJ-a+irO,方程无解,\-a\-a
②若=匕0=/一+1=,方程无解,.•.〃工上@;-a-a
③若」一二^―^=>々2-〃+1=0,方程无解,,\-a-a\-a-a故集合4中至少有三个不同的元素.【总结升华】集合离不开元素,元素是集合的核心,所以解决有关集合中的探索性问题,可以先从元素入手,作为解题的切入点.类型四集合的表示方法例
10.试分别用列举法和描述法表示下列集合1方程3=0的所有实数根组成的集合;2由大于15小于25的所有整数组成的集合.【答案】{G,-G};{16,17,18,19,20,21,22,23,
24.【解析】1设方程/-3=0的实数根为x,并且满足条件/一3二0因此,用描述法表示为A={x|f-3=0,XGR;方程f_3=0有两个实数根G,-G因此,用列举法表示为A={6,-6}.2设大于15小于25的整数为x,它满足条件xwZ,且15x25,因此,用描述法表示为3={x|15x25,XEZ}大于15小于25的整数有16,17,18,19,20,21,22,23,24,因此,用列举法表示为5={16,17,18,19,20,21,22,23,
24.【总结升华】1列举法表示集合,元素不重复、不计次序、不遗漏,且元素与元素之间用“,”隔开.2列举法适合表示有限集,当集合中元素的个数较少时,用列举法表示集合较为方便,而且一目了然.3用描述法表示集合时,要注意代表元素是什么,同时要注意代表元素所具有的性质.举一反三【变式1】用列举法表示集合1A={XGR|x-1x+2x2-l X3-8=02B={x,y|x+y=3,xwN,yeN3C={y|x+y=3,xwN,yeN}⑷D=.x,y||y_X,⑸八卜烂:;6P={x|xx-a=0,aeR}【解析】本题是描述法与列举法的互化,一定要先观察描述法中代表元素是什么.1A={1,-2,-1,22B={0,3,3,0,1,2,2,1}3C={0,1,2,3}4D={0,0}5M={0}⑹当a*0时,P={0,a};当a=0时,P={0}.【总结升华】此例题2与3,4与5两组都是考察代表元素的,而6考察了集合元素的互异性,遇到代数式时,能否意识到字母@£比需要分类讨论.【变式2】用适当的方法表示下列集合I比5大3的数;2方程式2+》2-41+63+13=0的解集;3二次函数,=/一]的图象上的所有点组成的集合.【答案】1{8};2{2,-3};3{x,y|y=x2-10}.【解析】1比5大3的数显然是8,故可表示为{8}.2方程%2+/-4工+6〉+13=0可化为工-22+》+32=0,x=23•.方程的解集为{2,-3}.・3用描述法表示为{x,y|y=f-1}.【总结升华】用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.个元素,即只能出现一次成的集合含有4个元素,分别为g»o,o,d.这句话是不对的,因为虽然在这个单词中,字母“0”出现了两次,但如果归入同一集合中只能算作一个元素,根据互异性,上述集合的元素仅有3个,分别为g,o,d.构成集合的元素间无先后顺序之分,即任意改集合{1,0}和{0,1}是同无序性主要应用在判断两个集无序性变集合中元素的排列次序所得到的集合和原来合是否相等方面.一集合的集合是同一集合要点诠释:集合中的元素,必须具备确定性、互异性、无序性.反过来,一组对象若不具备这三性,则这组对象也就不能构成集合,集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据.解决与集合有关的问题时,要充分利用集合元素的“三性”来分析解决,也就是,一方面,我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”;另一方面,问题被解决之时,应注意检验元素是否满足它的“三性”.
3.元素与集合的关系:关系概念记法读法属于如果a是集合A的元素,就说属于belong toA a^A a属于A如果“不是集合A的元素,就说不属于not belongtoA a^A a不属于A不属于【提示】146A还是A取决于是不是集合A中的元素,根据集合中元来的确定性,可知对任何与A,要么要么4cA.2符号号“小…庄”仅可用来表示元素与集合之间的关系,不能用来表示集合与集合之的关系,这一点要牢记集合与集合之的关系将在后面学到.3与“e”与“嗜”的开口方何指向集合.4集合本身也可以作为集合的元来,如人={{〃},{》}}中有两个元素,分别为合{0,g},则有{〃}wA.
4.集合的分类有限集、无限集与空集有限集含有有限个元素的集合.如“方程3x+l=0的解组成的集合”含有无限个元素的集合.如“到平面上两个定点的距离相等的所有点组成的集合、工一1的解集“无限集空集empty set我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作
0.如“方程X2+1=0UGR的解集”【提示】1在以后的学习中,空集是最容易被忽略的一种情况,要时刻提高警惕.2警惕0={0},{0}=0,{0}=的错误.
①0是合{0}的元素,可记为£{0};
②表示空集,{0}表示合有一个元来的集合;
(3){0}表示含有一个元素的集合,故0£{0}.
5.常用的数集及其记法常用的数集及其符号常用数集意义记作自然数集非负整数全体构成的集合N正整数集在自然数集内排除0的集合或N*整数全体构成的集合整数集Z有理数集有理数全体构成的集合Q实数全体构成的集合实数集R无理数全体构成的集合无理数集皿复数集及数全体构成的集合C【提示】
(1)以上常用数集的意义是约定俗成的,解题时可作为已知使用,不必重述它们的意义.
(2)对以上常用数集要做到范围明确,即明确各数集所包含的元素.
(3)N与N(牝)不同之处就是N包括0,而N*(M)不包括
0.
(4)0是最小的自然数.要点二集合的表示方法我们可以用自然语言来描述•个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.方法意义示例理解用文字叙述的形式描述集合大于等于2且小于等于8的偶数构成自然语言法的方法的集合把集合的所有元素-----------
(1)数集由方程f=4的实根组
(1)列举法适用于元素个数较少列举出来,并写在花括号成的集合可以表示为{-2,2),小于6的有限集;“{}”内的表示集合的方法.的非负偶数组成的集合可以表示为
(2)元素间用“,”隔开;
(3)用列举法表示集合时,求出参{0,2,4}元素不能重复;数值后,必须进行“互异性检
(2)点集{(0,2),(2,4)}
(4)元素具有无序性;
(5)当元列举法验”素个数较多(或集合为无限集)时,若元素呈现一定的规律,在不发生误解的情况下,也可列出部分元素作为代表,其他元素用省略号表示.用集合所含元素的共同特征
(1)数集不等式2x—30的解集
(1)描述法适用于元素个数较多特征性质描述法来表示集合的方法.可表示为且排列又无明显规律的集合;(简称描述法)基本形式为3
(2)集合的代表元素与元素所{XG/|X-)(或写成3{xel|pCv)},x是集具有的共同性质之间用“|”隔开;{x\x-},或写成2合的代表元素,集合/是X的
(3)对于描述法,不能只把注意{x\2x-30}取值范围,p(x)是集合中力放在竖线I”右边元素所具有的共卜=-1〕元素所具有的共同性质(特征2点集x,y同性质上,还要给予竖线左边的代表b=2J性质)元素足够的重视.弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数,还是有序实数对(点)还是其他形式?
(4)用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接;若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.Venn图法用平面内一条封如方程|#=2的解集可表示为闭曲线的内部表示C22一个集合图示法数轴法用数轴或数轴上的部集合{x|-1或x2}用数轴法表分来表示集合的方法叫做数示如图所示,轴法-4-3-2-101234用集合表示解集有时不太方对于不等式的解集3工,-2}“无穷大”是一种变化趋势,符号便,为了方便,采用区间的形“8”不是一个数,因此,以“9”或(或类似的集合)可以用区间表区间法式来表示集合“+8”为区间的一端点时,这一端必示为(YO,-2]须是小括号【典型例题】类型一集合的概念及元素的性质例
1.下列各组对象不能构成集合的是()A.上课迟到的学生B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于乃的正整数【解析】对于A,“上课迟到的学生属于确定的概念,故能构成集合;对于4,“2020年高考数学难题”界定不明确,不能构成集合;对于C,任意给一个数都能判断是否为有理数,故能构成集合;对于,小于乃的正整数分别为1,2,3,能够组成集合.故选B.【点评】本题给出几组对象,要我们找出不能构成集合的对象,着重考查了集合的定义和集合元素的性质等知识,属于基础题.例
2.集合A由形如6+6〃〃£2,〃£2的数构成的,判断一^是不是集合A中的元素?2-V3【答案】是【解析】由分母有理化得,」■尸=2+
6.由题中集合A可知相=2,〃=1,均有W EZ,〃WZ,2-V32+CwA,即——e A.2-V3【总结升华】1解答本题首先要理解£与仁的含义,然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的,」■产能否化成此形式,进而去判断2-V3」尸是不是集合A中的元素.2判断一个元素是不是某个集合2-V3的元素,就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题,主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三【变式I】判断下列对象能否构成一个集合,如果能,请采用适当的方法表示该集合,如果不能,请说明理由.1小于5的整数;2我校高一年级体重超过75依的同学;3方程x+,=3的非负整数解;4与不非常接近的有理数;5某班所有个子高的同学;6不等式2x+l7的整数解.【解析】1利用描述法表示,{XGZ\X5]:2利用描述法表示,{x|x是我校高一年级体重超过75版的同学};3方程x+,=3的非负整数解有0,3,1,2,2,1,3,0;故可利用列举法表示,{0,3,1,2,2,1,3,0};4与万非常接近的有理数不能构成集合,无法满足集合中元素的确定性;5个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合;6由2x+l7得x3,因为工为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x|x3,且xeZ}.【点评】本题考查了集合的判断与集合的表示法应用,属于基础题.【变式2】设5={*伏=01+及1],111,11e Z}I若a£Z,则是否有acS2对S中任意两个元素X1,X2,则X1+X2,X1-X2,是否属于集合S解⑴若awZ,则有awS,即n=0时,XGZ,AaeS;2Vxi,xaeS,贝U X[=mi+\/5n1,x,=m,+V5n,m1,nm”ni wZ.••X+x=〃[+生+/54+/^G S见+/n£Z,〃]+%e Zx,-x=m+血叫•m+V2n=m,m+0nn2+m n12222Vni|,ni,m2,nz^Z,;miim+ZnimE Z,minz+imni^Z・..Xi-XzE S.类型二元素与集合的关系例
3.2015北京西城区学探诊给出下列六个关系1Oe N*21}30G{0}40U{O}5{0}e{0,1}6{0}c{0}其中正确的关系是.【答案】246【思路点拨】首先要熟悉集合的常用符号,空集,记作0,N表示自然数集,N+或N*表示正整数集,Z表示正整数集,Q表示有理数集,R表示实数集;然后要明确元素与集合,集合与集合的关系及符号表示,以及子集的性质.给定一个对象“,它与一个给定的集合A之间的关系为QEA,或者史A,二者必居其一.解答这类问题的关键是弄清的结构,弄清A的特征,然后才能下结论.【解析】1不是正整数,故错误;20不是集合{-1,1}中的元素,故正确;3空集是一个集合,使用的符号错误,故错误;4空集是任何一个集合的真子集,故正确;5是集合与集合的关系,应该使用符号q或故错误;6一个集合是它本身的子集,故正确.【总结升华】本题主要是区别0,{},0和非空数集以及常用的集合之间的关系.此类问题在解答时,既要熟悉集合的常用符号,乂要明确元素与集合,集合与集合的关系及符号表示,以及子集的性质,特别是{0}与0,最容易混淆,必须在学习中引起足够的重视.举一反三【变式I】用符号或“走”填空1若人=2,则-LA-2A.22若8=卜|2/一/-1=0},则一g8;-2B.【答案】I任,£2w,任【变式2】下列四个集合中,是空集的是A.{x|x+3=3}B.{x,y|y2=-x2,x,ye/C.{x\x2„0}D.{x\x2-x+\=0,xeR]【解析】根据题意,由于空集中没有任何元素,对于选项4,x=0:对于选项8,0,0是集合中的元素;对于选项C,由于x=0成立;对于选项,方程无解.故选D.【变式3】用符号€或在填空.1设集合A是正整数构成的集合,贝IJ0—A,72—A,1―A;2设集合3是小于JTT的所有实数构成的集合,则2G—B,1+V2-8;3设集合是满足方程x=/+l其中〃为正整数的实数x构成的集合,则3—C,5―C;4设集合是满足方程y=f的有序实数对伏,构成的集合,则-D,_1,1D.【解析】1依次应填任,电,€.22/3=/l2VET.因为1+夜尸=3+2及11,所以1+也JFT,所以依次应填《,G.3由于〃是正整数,所以〃2+|#
3.而当〃=2时,n2+l=5,所以依次应填c,G.4由于集合中的元素是有序实数对x,y,而-1是数,所以-1足力.又-1f=1,所以依次应填—e.故答案为1任,电、G;22,G;3g,G;4三,G;【点评】本题考查了元素与集合的关系,属于基础题.【变式4】用符号W或e填空0___N72_____Z;-Q;V3QV12R;33{x|x=〃2+l,ne N];2{,v|x2-2x=0};0{y|j=-x2+i,xwR};0,1y|y=x2+l,A-e/};1,1{乂丁||刈=2且|丫|=1}.【解析】因为是自然数,所以OeN;因为也不是整数,所以四位Z;因为』是有理数,所以33因为J5不是有理数,所以6任Q;因为疝是实数,所以J/wR;•.,当〃eN时,x=1+1取不到3,/.3G{X|X=H2+1,neN};••集合{x|3-2x=0}化简得{0,2},:.2e{x\x2-2x=0]・•集合3y=+],xeR}={y|y,1},且Ovl,:.e{y\y=-x2+\,xeR};•.,集合{y Iy=/+],xw/}中的元素都是实数,不是点的坐标,.\O,lg{y|y=x2+\,xe R}:•.•集合{x,y||x|二2且|,|=1}={2,1,-2,1,-2,-1,-2,1},.*.1,l^{x,y||x|=2X|y|=l.故答案为€,在,€,g,G,£,G,G,任,任.【点评】本题结合集合与元素,要我们判断其关系,着重考查了元素与集合的关系、实数的分类与运算等知识,属于基础题.【变式5】用符号““或7”填空10N,/5N,x/16N;2-G++6{x\x=a+\/6b,aeQ,beQ}.【解析】1•.•是自然数,•逐不是自然数,二石史N:标=4是自然数,MwN;2•.•曲-6+也+百2=2一百+2+6+2=6,/.V2-\/3+\j2+\f3=/6=0+1x x/6,故也-6+也+\/5£{x|x=a+,awQ,beQ].故答案为IG,促,G,2G【点评】本题考查了元素与集合关系的判断,难度中下等,本题2的难点在于2-百+也+6的化简.类型三集合中元素性质的应用例
4.I求—22=0的解集.2已知三角形的三边长分别为〃,b,c,三边长组成集合如下,试判断三角形的形状.
①{a,b,c};
②{};
③{〃}.3已知集合4={0,2m一1,加},
①若SA,求实数机的取值范围;
②若4〃-4eA,求实数,〃的取值范围.【解析】1{2}2
①三边互不相等的三角形;
②等腰三角形
③等边三角形;3
①i当-1=1,即〃2=1时,则2m-l=m2=I不满足集合的互异性,故1,ii当m2=1,即〃=±1时,—1时,2,〃—1=—3,〃/=],A={0,—3/};
②i当4加一4=0,即〃=1时,不满足集合的互异性;ii S4m-4=2m-l,即m=1时,此2Q Q时集合A={0,2,/;iii当4〃—4=〃P,即〃=2时,此时集合A={0,3,4},综上所述,〃=]或相=
2.例
4.互异性一一含参方程的解集1求方程x—2x—3=0的解集.2求方程-⑼-3=0的解集.3若方程x-Mx-3=0的解集中,元素之和恰好为3,求实数,〃的值.4若方程x-/〃*-1*-2=0的解集中,元素之和恰好为3,求实数机的值.【解析】1{2,3};2
①当〃工3时方程没有重根,解集为{九3};
②当〃=3时方程有重根,解集为{3};综上所述,方程1-〃1-3=0的解集为{肛3}或⑶.3
①当〃件3时,解集为{肛3},则〃2+3=3,解得,〃=0;
②当小=3时,解集为{3},满足题意,综上所述,〃2=0或2=
3.4
①当〃7=1时,解集为{1,2},满足题意;
②当〃7=2时,解集为{1,2},满足题意;
③当〃件1且〃工2时,解集为,则m+1+2=3,解得7=0,满足题意,,当综上所述,=0或〃=1或7=
2.例
5.设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算“*”即对任意的a,〃£S,对于有序元素对a,b,在S中唯一确定的元素a*Z与之对应,若对任意的有4**=/九则对任意的力wS,下列等式中不恒成立的是A.a*b*a=aB.[*/*4]*4*勿=々C.b*b*b=bD.a*b*[b*a*b]=b【答案】A【解析】抓住本题的本质*4=〃恒成立.只要为S中元素即可有a*8wS.B中由己知即为/7*〃*/=〃符合已知条件形式.C中=〃即可.D中4*〃相当于己知中的也正确.只有A不一•定正确.【总结升华】本题应紧紧抓住关系式即关系式中有三个数,其中有两个数相同且分别在两边,此时关系式等于中间的数,只要分析出这个特点即可解决.A例
6.M={a GZ,|-G N},则M=5-aA.{2,3}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3,6}D.{-1,2,3,4}【答案】D【解析】集合中的元素满足是整数,且能够使3是自然数,所以0W』一W65-a o-a。