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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1以及与圆有关的比例线段[学习目标]
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度
2.切线长定理对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角
3.弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角直线ab切⊙o于p,pc、pd为弦,图中几个弦切角呢(四个)
4.弦切角定理弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角
5.弄清和圆有关的角圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理
7.与圆有关的比例线段定理图形相交弦定理已知结论证法⊙o中,ab、cd为弦,交pa·pb=pc·pd.连结ac、bd,证于p.第1页共25页△apc∽△dpb.相交弦定理的推论⊙o中,ab为直径,cd⊥abpc=pa·pb.于p.2用相交弦定理.1切割线定理⊙o中,pt切⊙o于t,pt2=pa·pb割线pb交⊙o于a连结ta、tb,证△ptb∽△pat切割线定理推论pb、pd为⊙o的两条割线,pa·pb=pc·pd交⊙o于a、c过p作pt切⊙o于t,用两次切割线定理圆幂定理⊙o中,割线pb交⊙o于pc·pd=r2-延长po交⊙o于m,延a,cd为弦op2长op交⊙o于n,用相交pa·pb=op2-r2弦定理证;过p作切线用r为⊙o的半径切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理过一定点p向⊙o作任一直线,交⊙o于两点,则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|(r为圆半径),因为叫做点对于⊙o的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理|【典型例题】例
1.如图1,正方形abcd的边长为1,以bc为直径在正方形内作半圆o,过a作半圆切线,切点为f,交cd于e,求de ae的值图1解由切线长定理知af=ab=1,ef=ce设ce为x,在rt△ade中,由勾股定理第2页共25页∴,,例
2.⊙o中的两条弦ab与cd相交于e,若ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,那么ce=_________cm2图2解由相交弦定理,得ae·be=ce·de∵ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,,∴,即∴ce=3cm或ce=4cm故应填3或4点拨相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍例
3.已知pa是圆的切线,pcb是圆的割线,则解∵∠p=∠p∠pac=∠b,∴△pac∽△pba,∴,________∴又∵pa是圆的切线,pcb是圆的割线,由切割线定理,得∴,即,第3页共25页故应填pc点拨利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论例
4.如图3,p是⊙o外一点,pc切⊙o于点c,pab是⊙o的割线,交⊙o于a、b两点,如果pa pb=14,pc=12cm,3⊙o的半径为10cm,则圆心o到ab的距离是___________cm图3解∵pc是⊙o的切线,pab是⊙o的割线,且pa pb=14∴pb=4pa又∵pc=12cm由切割线定理,得∴∴,∴∴pb=4×6=24(cm)∴ab=24-6=18(cm)设圆心o到ab距离为dcm,由勾股定理,得故应填例
5.如图4,ab为⊙o的直径,过b点作⊙o的切线bc,oc交⊙o于点e,ae的延长线交bc于点d,
(1)求证;
(2)若ab=bc=2厘米,求ce、cd的长图4点悟要证证明
(1)连结be,即要证△ced∽△cbe4
(2)又∵,第4页共25页∴厘米点拨有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件例
6.如图5,ab为⊙o的直径,弦cd∥ab,ae切⊙o于a,交cd的延长线于e图5求证证明连结bd,∵ae切⊙o于a,∴∠ead=∠abd∵ae⊥ab,又ab∥cd,∴ae⊥cd∵ab为⊙o的直径∴∠adb=90°∴∠e=∠adb=90°∴△ade∽△bad∴∴∵cd∥ab∴ad=bc,∴例
7.如图6,pa、pc切⊙o于a、c,pdb为割线求证ad·bc=cd·ab图6点悟由结论ad·bc=cd·ab得,显然要证△pad∽△pba和△pcd∽△pbc证明∵pa切⊙o于a,∴∠pad=∠pba第5页共25页又∠apd=∠bpa,∴△pad∽△pba∴同理可证△pcd∽△pbc∴∵pa、pc分别切⊙o于a、c∴pa=pc∴∴ad·bc=dc·ab例
8.如图7,在直角三角形abc中,∠a=90°,以ab边为直径作⊙o,交斜边bc于点d,过d点作⊙o的切线交ac于e图7求证bc=2oe点悟由要证结论易想到应证oe是△abc的中位线而oa=ob,只须证ae=ce证明连结od∵ac⊥ab,ab为直径∴ac为⊙o的切线,又de切⊙o于d∴ea=ed,od⊥de∵ob=od,∴∠b=∠odb在rt△abc中,∠c=90°-∠b∵∠ode=90°∴∴∠c=∠edc∴ed=ec∴ae=ec∴oe是△abc的中位线∴bc=2oe例
9.如图8,在正方形abcd中,ab=1,是以点b为圆心,ab长为半径的圆的一段弧点e是边ad上的任意一点第6页共25页(点e与点a、d不重合),过e作所在圆的切线,交边dc于点f,g为切点当∠def=45°时,求证点g为线段ef的中点;6图8解由∠def=45°,得∴∠dfe=∠def∴de=df又∵ad=dc∴ae=fc因为ab是圆b的半径,ad⊥ab,所以ad切圆b于点a;同理,cd切圆b于点c又因为ef切圆b于点g,所以ae=eg,fc=fg因此eg=fg,即点g为线段ef的中点【模拟试题】(答题时间40分钟)
一、选择题
1.已知pa、pb切⊙o于点a、b,连结ab,若ab=8,弦ab的弦心距3,则pa=a.b.c.5d.
82.下列图形一定有内切圆的是a.平行四边形b.矩形c.菱形d.梯形
3.已知如图1直线mn与⊙o相切于c,ab为直径,∠cab=40°,则∠mca的度数,图1a.50°b.40°c.60°d.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为14,则另一弦长为a.8cmb.10cmc.12cmd.16cm
5.在△abc中,d是bc边上的点,ad点,那么de长等于a.b.第7页共25页,bd=3cm,dc=4cm,如果e是ad的延长线与△abc的外接圆的交c.d.
6.pt切⊙o于t,ct为直径,d为oc上一点,直线pd交⊙o于b和a,b在线段pd上,若cd=2,ad=3,bd=4,则pb等于a.20b.10c.5d.7
二、填空题
7.ab、cd是⊙o切线,ab∥cd,ef是⊙o的切线,它和ab、cd分别交于e、f,则∠eof=_____________度
8.已知⊙o和不在⊙o上的一点p,过p的直线交⊙o于a、b两点,若pa·pb=24,op=5,则⊙o的半径长为_____________
9.若pa为⊙o的切线,a为切点,pbc割线交⊙o于b、c,若bc=20,,则pc的长为__________________________
10.正△abc内接于⊙o,m、n分别为ab、ac中点,延长mn交⊙o于点d,连结bd交ac于p,则
三、解答题
11.如图2,△abc中,ac=2cm,周长为8cm,f、k、n是△abc与内切圆的切点,de切⊙o于点m,且de∥ac,求de的长图
212.如图3,已知p为⊙o的直径ab延长线上一点,pc切⊙o于c,cd⊥ab于d,求证cb平分∠dcp图3第8页共25页
13.如图4,已知ad为⊙o的直径,ab是⊙o的切线,过b的割线bmn交ad的延长线于c,且bm=mn=nc,若ab求⊙o的半径,图【试题答案】
一、选择题
1.a
2.c
3.a
4.b
5.b
6.a8
二、填空题
7.
908.
19.
3010.
三、解答题
11.由切线长定理得△bde周长为4,由△bde∽△bac,得de=1cm
12.证明连结ac,则ac⊥cb∵cd⊥ab,∴△acb∽△cdb,∴∠a=∠1∵pc为⊙o的切线,∴∠a=∠2,又∠1=∠2,∴bc平分∠dcp
13.设bm=mn=nc=xcm又∵∴又∵oa是过切点a的半径,∴oa⊥ab即ac⊥ab在rt△abc中,由勾股定理,得,由割线定理,又∵∴∴半径为第9页共25页第二篇切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理1切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度
2.切线长定理对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角
3.弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角直线ab切⊙o于p,pc、pd为弦,图中几个弦切角呢(四个)
4.弦切角定理弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角
5.弄清和圆有关的角圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙o中,ab、cd为弦,交pa·pb=pc·pd.连结ac、bd,证第10页共25页理于p.△apc∽△dpb.相交弦定⊙o中,ab为直径,cd⊥abpc2=pa·pb.用相交弦定理.理的推论于p.切割线定⊙o中,pt切⊙o于t,pt2=pa·pb连结ta、tb,证理割线pb交⊙o于a△ptb∽△pat切割线定pb、pd为⊙o的两条割线,pa·pb=pc·pd过p作pt切⊙o于t,用理推论交⊙o于a、c两次切割线定理
一、选择题
1.已知pa、pb切⊙o于点a、b,连结ab,若ab=8,弦ab的弦心距3,则pa=a.b.c.5d.
82.下列图形一定有内切圆的是a.平行四边形b.矩形c.菱形d.梯形
3.已知如图1直线mn与⊙o相切于c,ab为直径,∠cab=40°,则∠mca的度数图1a.50°b.40°c.60°d.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为14,则另一弦长为a.8cmb.10cmc.12cmd.16cm
5.在△abc中,d是bc边上的点,ad那么de长等于第11页共25页a.,bd=3cm,dc=4cm,如果e是ad的延长线与△abc的外接圆的交点,b.c.d.
6.pt切⊙o于t,ct为直径,d为oc上一点,直线pd交⊙o于b和a,b在线段pd上,若cd=2,ad=3,bd=4,则pb等于a.20b.10c.5d.
二、填空题
7.ab、cd是⊙o切线,ab∥cd,ef是⊙o的切线,它和ab、cd分别交于e、f,则∠eof=_____________度
8.已知⊙o和不在⊙o上的一点p,过p的直线交⊙o于a、b两点,若pa·pb=24,op=5,则⊙o的半径长为_____________
9.若pa为⊙o的切线,a为切点,pbc割线交⊙o于b、c,若bc=20,,则pc的长为_____________
10.正△abc内接于⊙o,m、n分别为ab、ac中点,延长mn交⊙o于点d,连结bd交ac于p,则_____________
三、解答题
11.如图2,△abc中,ac=2cm,周长为8cm,f、k、n是△abc与内切圆的切点,de切⊙o于点m,且de∥ac,求de的长图
212.如图3,已知p为⊙o的直径ab延长线上一点,pc切⊙o于c,cd⊥ab于d,求证cb平分∠dcp图
313.如图4,已知ad为⊙o的直径,ab是⊙o的切线,过b的割线bmn交ad的延长线于c,且bm=mn=nc,若ab求⊙o的半径第12页共25页,图4【试题答案】
一、选择题
1.a
2.c
3.a
4.b
5.b
6.a
二、填空题
7.
908.
19.
3010.
三、解答题
11.由切线长定理得△bde周长为4,由△bde∽△bac,得de=1cm
12.证明连结ac,则ac⊥cb∵cd⊥ab,∴△acb∽△cdb,∴∠a=∠1∵pc为⊙o的切线,∴∠a=∠2,又∠1=∠2,∴bc平分∠dcp
13.设bm=mn=nc=xcm又∵∴又∵oa是过切点a的半径,∴oa⊥ab即ac⊥ab在rt△abc中,由勾股定理,得,由割线定理,又∵∴∴半径为第三篇圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段[学习目标]第13页共25页
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度
2.切线长定理对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角
3.弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角直线ab切⊙o于p,pc、pd为弦,图中几个弦切角呢(四个)
4.弦切角定理弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角
5.弄清和圆有关的角圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙o中,ab、cd为弦,交pa·pb=pc·pd.连结ac、bd,证理于p.△apc∽△dpb.相交弦定理的推论⊙o中,ab为直径,cd⊥abpc=pa·pb.于p.2用相交弦定理.第14页共25页切割线定理⊙o中,pt切⊙o于t,pt=pa·pb割线pb交⊙o于a2连结ta、tb,证△ptb∽△pat切割线定理推论pb、pd为⊙o的两条割线,pa·pb=pc·pd交⊙o于a、c过p作pt切⊙o于t,用两次切割线定理圆幂定理⊙o中,割线pb交⊙o于pc·pd=r-延长po交⊙o于m,延2a,cd为弦op长op交⊙o于n,用相交22pa·pb=op-r弦定理证;过p作切线用r为⊙o的半径切割线定理勾股定理证
28.圆幂定理过一定点p向⊙o作任一直线,交⊙o于两点,则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理|(r为圆半径),因为叫做点对于⊙o的幂,所以将上述定理统称为第四篇郭氏数学圆的切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理郭氏数学内部资料切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度第15页共25页
2.切线长定理对于切线长定理,应明确
(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;
(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;
(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;
(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;
(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角
3.弦切角顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角直线ab切⊙o于p,pc、pd为弦,图中几个弦切角呢(四个)
4.弦切角定理弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角
5.弄清和圆有关的角圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理
7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定⊙o中,ab、cd为弦,交pa·pb=pc·pd.连结ac、bd,理于p.△apc∽△dpb.相交弦定⊙o中,ab为直径,cd⊥abpc2=pa·pb.用相交弦定理.理的推论于p.证郭氏数学内部资料切割线定理⊙o中,pt切⊙o于t,pt2=pa·pb割线pb交⊙o于a第16页共25页连结ta、tb,证△ptb∽△pat切割线定理推论pb、pd为⊙o的两条割线,pa·pb=pc·pd交⊙o于a、c过p作pt切⊙o于t,用两次切割线定理圆幂定理⊙o中,割线pb交⊙o于pc·pd=r2-延长po交⊙o于m,延a,cd为弦op2长op交⊙o于n,用相交pa·pb=op2-r2弦定理证;过p作切线用r为⊙o的半径切割线定理勾股定理证
8.圆幂定理过一定点p向⊙o作任一直线,交⊙o于两点,则自定点p到两交点的两条线段之积为常数|圆幂定理【典型例题】例
1.如图1,正方形abcd的边长为1,以bc为直径在正方形内作半圆o,过a作半圆切线,切点为f,交cd于e,求de ae的值|(r为圆半径),因为叫做点对于⊙o的幂,所以将上述定理统称为图1解由切线长定理知af=ab=1,ef=ce设ce为x,在rt△ade中,由勾股定理∴,,郭氏数学内部资料例
2.⊙o中的两条弦ab与cd相交于e,若ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,那么ce=_________cm第17页共25页图2解由相交弦定理,得ae·be=ce·de∵ae=6cm,be=2cm,cd=7cm,,∴,即∴ce=3cm或ce=4cm故应填3或4点拨相交弦定理是较重要定理,结果要注意两种情况的取舍例
3.已知pa是圆的切线,pcb是圆的割线,则解∵∠p=∠p∠pac=∠b,∴△pac∽△pba,∴,________∴又∵pa是圆的切线,pcb是圆的割线,由切割线定理,得∴,即,故应填pc点拨利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论第18页共25页例
4.如图3,p是⊙o外一点,pc切⊙o于点c,pab是⊙o的割线,交⊙o于a、b两点,如果pa pb=14,pc=12cm,⊙o的半径为10cm,则圆心o到ab的距离是___________cm3郭氏数学内部资料图3解∵pc是⊙o的切线,pab是⊙o的割线,且pa pb=14∴pb=4pa又∵pc=12cm由切割线定理,得∴∴,∴∴pb=4×6=24(cm)∴ab=24-6=18(cm)设圆心o到ab距离为dcm,由勾股定理,得故应填例
5.如图4,ab为⊙o的直径,过b点作⊙o的切线bc,oc交⊙o于点e,ae的延长线交bc于点d,
(1)求证;
(2)若ab=bc=2厘米,求ce、cd的长图4点悟要证证明
(1)连结be,即要证△ced∽△cbe
(2)又∵,∴厘米点拨有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为利用弦切角定理创造条件4郭氏数学内部资料第19页共25页例
6.如图5,ab为⊙o的直径,弦cd∥ab,ae切⊙o于a,交cd的延长线于e图5求证证明连结bd,∵ae切⊙o于a,∴∠ead=∠abd∵ae⊥ab,又ab∥cd,∴ae⊥cd∵ab为⊙o的直径∴∠adb=90°∴∠e=∠adb=90°∴△ade∽△bad∴∴∵cd∥ab∴ad=bc,∴例
7.如图6,pa、pc切⊙o于a、c,pdb为割线求证ad·bc=cd·ab图6点悟由结论ad·bc=cd·ab得,显然要证△pad∽△pba和△pcd∽△pbc证明∵pa切⊙o于a,∴∠pad=∠pba又∠apd=∠bpa,∴△pad∽△pba∴第20页共25页同理可证△pcd∽△pbc∴∵pa、pc分别切⊙o于a、c∴pa=pc∴郭氏数学内部资料∴ad·bc=dc·ab例
8.如图7,在直角三角形abc中,∠a=90°,以ab边为直径作⊙o,交斜边bc于点d,过d点作⊙o的切线交ac于e图7求证bc=2oe点悟由要证结论易想到应证oe是△abc的中位线而oa=ob,只须证ae=ce证明连结od∵ac⊥ab,ab为直径∴ac为⊙o的切线,又de切⊙o于d∴ea=ed,od⊥de∵ob=od,∴∠b=∠odb在rt△abc中,∠c=90°-∠b∵∠ode=90°∴∴∠c=∠edc∴ed=ec∴ae=ec∴oe是△abc的中位线∴bc=2oe
一、选择题
1.已知pa、pb切⊙o于点a、b,连结ab,若ab=8,弦ab的弦心距3,则pa=a.b.c.5d.
82.下列图形一定有内切圆的是a.平行四边形b.矩形c.菱形d.梯形第21页共25页
3.已知如图1直线mn与⊙o相切于c,ab为直径,∠cab=40°,则∠mca的度数图1a.50°b.40°c.60°d.55°
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为14,则另一弦长为a.8cmb.10cmc.12cmd.16cm
5.在△abc中,d是bc边上的点,ad,bd=3cm,dc=4cm,如果e是ad的延长线与△abc的外接圆的交点,那么de长等于a.b.c.d.
6.pt切⊙o于t,ct为直径,d为oc上一点,直线pd交⊙o于b和a,b在线段pd上,若cd6郭氏数学内部资料=2,ad=3,bd=4,则pb等于a.20b.10c.5d.
二、填空题
7.ab、cd是⊙o切线,ab∥cd,ef是⊙o的切线,它和ab、cd分别交于e、f,则∠eof=_____________度
8.已知⊙o和不在⊙o上的一点p,过p的直线交⊙o于a、b两点,若pa·pb=24,op=5,则⊙o的半径长为_____________
9.若pa为⊙o的切线,a为切点,pbc割线交⊙o于b、c,若bc=20,,则pc的长为_____________
10.正△abc内接于⊙o,m、n分别为ab、ac中点,延长mn交⊙o于点d,连结bd交ac于p,则_____________
三、解答题第22页共25页
11.如图2,△abc中,ac=2cm,周长为8cm,f、k、n是△abc与内切圆的切点,de切⊙o于点m,且de∥ac,求de的长图
212.如图3,已知p为⊙o的直径ab延长线上一点,pc切⊙o于c,cd⊥ab于d,求证cb平分∠dcp图
313.如图4,已知ad为⊙o的直径,ab是⊙o的切线,过b的割线bmn交ad的延长线于c,且bm=mn=nc,若ab,求⊙o的半径图4第五篇弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明肯特教育欢迎各位朋友批评指正,王老师18203660373弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明
一、弦切角定理
1、弦切角的定义顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角如图
(1)所示,ab为圆的一条弦,bc为圆的切线,∠abc即为圆的的弦切角图
(1)bc
2、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半证明如下a图
(2)第23页共25页如图
(2)所示,已知ab为⊙o的直径,bd为过圆上b点的切线,求证
(1)∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb
(2)∠cbd=∠cob21证明
(1)∵ab为⊙o的直径,bd为过b点的切线∴ab⊥bd∴∠abd=90º第1页共1页肯特教育欢迎各位朋友批评指正,王老师18203660373∴∠abc+∠cbd=90°∵ab为⊙o直径∴∠acb=90°则∠abc+∠cab=90°∴∠cbd=∠cab∵∠cab和∠ceb同弧所对的圆周角∴∠cab=∠ceb则∠cbd=∠ceb
(2)∵∠cab和∠cob是同弧所对的圆周角和圆心角∴∠cab=∠cob21又∵∠cbd=∠cab∴∠cab=∠cob21
二、切割线定理及推论
1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项证明如下图
(3)如图
(3)所示,直线pa与圆相切于a点,直线pc与圆相交于b、c两点,求证pa²=pb·pc证明连结ba、ca第24页共25页∵pa为圆的切线∴∠pab=∠pca(弦切角定理)∵∠pab=∠pca,∠bpa=∠apc(公共角)∴△pab∽△pca∴papc=pbpa∴pa²=pb·pc第25页共25页。