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1集合的概念与表示一等奖创新教案第一章集合第
1.1节集合的概念与表示本节内容选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一册第一章第一节的内容集合是语境的要素.集合语言是近现代数学的基础,利用它可以简洁、准确地表述数学.因此,“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容,也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境.学习“集合”这一章,需从观念上把握六个字语言,工具,渐进.要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成,并能运用集合语言来简洁地描述问题.课程目标学科素养A.理解集合的概念;理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系;熟记常用数集专用符号.B.深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性;能够用其解决有关问题.C.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合感受集合语言的意义和作用
1.数学抽象集合概念的理解,描述法表示集合的方法;
2.逻辑推理集合的互异性的辨析与应用;
3.数学运算集合相等时的参数计算,集合的描述法转化为列举法时的运算;
4.直观想象集合的图形表示;
5.数学建模用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类
1.教学重点集合的基本概念,集合中元素的三个特性,元素与集合的关系,集合的表示方法.
2.教学难点元素与集合的关系,集合中元素的三个特性的应用.学案的印制分发、多媒体课件调试蓝蓝的天空,一群鸟在欢快地飞翔;茫茫的草原,一群羊在悠闲地走动;清清的湖水,一群鱼在自由地游戏鸟群、羊群、鱼群…都是“同一类对象汇集在一起“,这就是本章将要学习的集合.阅读课本P56,完成以下问题〜
1.元素与集合⑴集合一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.通常用大写拉丁字母来表示集合.2元素集合中的每一个对象称为该集合的元素,简称元.通常用小写的拉丁字母来表示.3元素与集合间的关系
①若a是集合A的元素,就记作a£A,读作“a属于A”.
②若a不是集合A的元素,就记作a A或aA,读作,不属于A”.4集合中元素的特征确定性、无序性、互异性.5常见数集集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法N N*或N+Z QR6集合相等的概念如果两个集合所含的元素完全相同即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素,那么称这两个集合相等.
2.集合的表示法1列举法将集合的元素一一列举出来,并置于花括号“{}”内,元素之间用逗号分隔,这样表示集合的方法称为列举法.2描述法将集合的所有元素都具有的性质满足的条件表示出来,写成{x|px}的形式,这样表示集合的方法称为描述法.[教师点拨]1使用列举法表示集合应注意以下问题
①元素之间用隔开;
②元素不能重复;
③元素没有顺序.2使用描述法表示集合应注意以下问题
①写清楚该集合中元素的代号用字母表示的元素符号;
②说明该集合中元素的性质;
3.集合的分类按照集合中元素的多少,集合可以分为有限集和无限集.1含有有限个元素的集合叫作有限集;2含有无限个元素的集合叫作无限集.3不含任何元素的集合叫作空集,记作.[教师点拨]{0}和不是同一个集合,{0}中含有一个元素0,而中没有任何元素.
4.微课辅助典例剖析题型一集合的概念[典例]下列每组对象能构成一个集合是(填序号).
(1)某校2019年在校的所有高个子同学;
(2)不超过20的非负数;
(3)帅哥;
(4)平面直角坐标系内第一象限的一些点;
(5)的近似值的全体.[解析]“高个子”没有明确的标准,因此⑴不能构成集合.
(2)任给一个实数x,可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,故“不超过20的非负数”能构成集合;
(3)“帅哥”没有一个明确的标准,因此不能构成集合;
(4)“一些点”无明确的标准,因此不能构成集合;
(5)“的近似值”不明确精确到什么程度,所以⑸不能构成集合.[答案]⑵点评判断指定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素,即确定性同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.题型二元素与集合的关系[典例]给出下列关系
①金七
②Q;
③|—3|N;@|-|EQ;
⑤0N,其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析是实数,
①对;不是有理数,
②对;I—3|=3是自然数,
③错;|—|=是无理数,
④错;0是自然数,
⑤错.故选B.答案B点评要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件.[变式训练]集合A中的元素x满足金N,x£N,则集合A中的元素为.解析VxeN,£N,「.OWxWZ且x£N.当x=O时,==2£N;当x=l时,==3£N;当x=2时,==6£N.AA中元素为0,1,
2.答案0,1,2题型三集合的表示方法[典例]用适当的方法表示下列集合1方程x x2+2x+l=0的解集;2在自然数集内,小于1000的奇数构成的集合;3不等式x—26的解的集合;4大于
0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合;[解]⑴•:方程xx2+2x+l=0的解为0和一1,,xx2+2x+l=0的解集为{-1,0};2{x|x=2n+l,且xVl000,n£N};3{x|x8;4{123,4,5,6};点评1一个集合可以用不同的方法表示,需根据题意选择适当的方法,同时注意列举法和描述法的适用范围.2方程或方程组的解的个数较少,因此方程或方程组的解集一般用列举法表示;不等式或不等式组的解集一般用描述法表示.注意,当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时,一定要将最终结果写成集合的形式.[变式训练]5列集合中,不同于另外三个集合的序号是.
①{x|x=l};
②{y|y—12=0};
③{x=l};®{1}.解析由集合的含义知{x|x=l}={y|y—12=0}={1},而集合{x=l}表示由方程x=l组成的集合,故填
③.答案
③6面六种表示方法
①{x=—1,y=2};
②;
③{-1,2};@—1,2;
⑤{—1,2};
⑥{x,y|x=—1,或y=2}.其中,能正确表示方程组的解集的是把所有正确答案的序号填上.解析
①中含两个元素,且都是式子,而方程组的解集中只有一个元素,是一个点,故
①不正确;
②代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同,故
②正确;
③中含两个元素,是数集,而方程组的解集是点集,且只有一个元素,故
③不正确;
④没有用花括号“{}”括起来,不表示集合,故
④不正确;
⑤中只含有一个元素,是点集且与方程组解对应相等,故
⑤正确;
⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符,须加小括号,条件中“或”也要改为“且”,故
⑥不正确.答案
②⑤题型四元素的三个特性的应用[典例]已知集合A有三个元素a—3,2a—1,a2+1,集合B也有三个元素0,1,x.1若一3£A,求a的值;2若x2£B,求实数x的值;3是否存在实数a,x,使人=
8.解1由一3£人且@2+1三1,可知a—3=—3或2a—1=-3,当a—3——3时,a—0;当2a—1=—3时,a=-
1.经检验,0与一1都符合要求..,.a=0或一
1.2当x=0,l,—1时,都有x2£B,但考虑到集合元素的互异性,xWO,xWl,故x=—
1.3显然a2+lW
0.由集合元素的无序性,只可能a—3=0或2a—1=
0.若a—3=0,贝ij a=3,A—{a—3,2a—1,a2_F1}={0,5,10}WB.若2a—1=0,则a=,A—{a—3,2a—1,a2+1=HB.故不存在这样的实数a,x,使人=
8.点评元素的无序性主要体现在
①给出元素属于某集合,则它可能等于集合中的任一元素;
②给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.另外,此类问题常涉及分类讨论的数学思想.通过本节的学习,使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时的简洁和准确,体会数学的简洁美.本设计结构为“问题情境一学生活动f微课辅助一意义建构一数学运用一回顾反思二特出以课本为抓手,以“知识点填空”的方式逐层深入,为“学生活动”和“意义建构”这两个关键教学环节的落实,提供了实在而广阔的空间.。