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文本内容:
则凶是可逆的因此上式可根据相似矩阵有相同的特征多项式,令是的次多项式,由式知4至少是的重特征值及为的重特征值,矛盾,所以由上面的两个引理作基础,下证定理证明3不妨设其中又(在复数域中)0充分性由于对应于的特征向量有个线性无关,又个特征值互异由引理知有个线形无关的特征1向量,依据定理及对角阵相似1,必要性用反证法设有一个特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数的重数为,则由引理2知,的线性无关的特征向量个数小于,故不能对角化,及题设矛盾,假设不成立即的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数推论级方阵可对角化的充要条件是对于的每一个特征根,有秩,其中是的重数证明的解空间的维数等于特征值的重数即维(由定理知)又维秩所以,秩成立3以上给出的可对角化的几个条件都是以特征值,特征向量为基础其中条件(也是定理是最11)基础的,可以把它看作是矩阵可对角化的实质其它条件都是它的扩展下面我们用日矩阵及若尔当标准形来讨论矩阵可对角化定理复数域上每一个阶矩阵都及一个若尔当4:标准形相似这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵唯一决定的它称为的若尔当标准形由相似是一个等价关系知,及相似的矩阵都有相同的若尔当标准形从这个意义上讲,我们可以把级方阵划分为以若当标准形为代表元素的等价类等价类中的每个元素是相似的由若尔当标准形的构造知,它包含对角形矩阵为它的特殊情况那么当它满足什么条件时,一个若尔当标准形是一个对角矩阵,也就是可对角化的条件由于每个初等因子对应一个若当块,例如初等因子为,那它对应的若当块为,而若当形矩阵是由这样的若当块组成的例:所以如果每一个若当块都是阶,那1么,这个若当形矩阵就成了对角阵,那么及之对J应的初等因子都是一次的由上面讨论给出矩阵可对角化的几个条件定理级方阵可对角化的充要条件它的初等因子5:n都是一次的推论级方阵可对角化的充要条件它的不变因子1n无重根推论级方阵可对角化的充要条件它的最小2:n多项式无重根这三个充要条件充分利用了不变因子,初等因子及最小多项式之间的关系,但在具体的解题过程中很少直接去求不变因子和初等因子,一般情况下是通过求最小多项式来解题的例由最小多项式的定义知,对于任一个零化多项式都满足,表示矩阵的最小多项式因此若无重根,则一定A无重根当然这只是一种方法由此给出推论级方阵可对角化的充分条件3:n是它的零化多项式无重根由哈密尔顿一凯莱定理知,特征多项式是一个零化多项式推论级方阵可对角化充分条件特征多项式4:n无重根以上讨论的这些级方阵可对角化的条件是相n对比较常见到的
二、级实对称矩阵的可对角化讨论n前面我们讨论了级方阵可对角化条件,同时也n看出不是任何矩阵都及对角阵相似,但实用中很重要的一类矩阵一级实对称阵一定可对角化,而且n对于任一个实对称阵存在正交矩阵使为A,T,T-1AT对角阵即级实对称矩阵存在个线性无关的正n n交特征向量定理级实对称矩阵若及相似,则5:n A,B,A B及合同A B证及相似,那么它们有相同的特征值,设A B为由为级实对称矩阵知,特征值全为实数,A,B n且存在正交矩阵使P,Q,LHJX]贝!J I■□i・即I■o由于正交矩阵的逆、乘积还是正交矩阵,因此为正交矩阵则且[■I X■一■即及是合同的A B1一般情况下相似及合同是没有什么关系,但是如果是实对称阵的话,合同是包含相似的
三、几种常用矩阵的对角化问题讨论非零幕零矩阵一定不可对角化
1.证设非零事零阵哥零指数为明A,的特征值全为1A0设为的特征值,是属于的特征向量即,则,A又由知即的特征值全为0,A0若可对角化,则存在可逆阵,使2及目矛盾综上所述,非零募零矩阵一定不可对角化推论哥零阵若可对角化,则它一定是零矩阵.对合矩阵一定可对角化2设为对合阵,贝限方法若有个线性无关特征向1量,由定理命题1成立证凶的特征值只有目和国1)设为的特征值,为属于的特征向量,又・・I X■得,移项得即日O回有冈个线性无关的特征向量2)由已知秩目秩wiO对特征值,齐次线性方程组有■个无关特征向量1对特征值,齐次线性方程组有\一■个无关特征向量再因为属于不同特征值特征向量线性无关,所以,有个无关特征向量从而凶可—一■对角化若秩,则的相似对角阵为方法二利用最小多项式无重根令,,则为零化多项式又无重根,由,知无重根,从而可对角化又回的特征值只有日和国从而相似对角阵为臼其中维,表示特征值的特征子空间
1.哥等矩阵一定可对角化3设幕等矩阵,满足哥等矩阵对角化讨论及对合矩阵对角化讨论类似,同样可以用两种方法进行讨论,且的特征值只有1和从而,它的相似对角阵为其中秩当时,0,它相似对角阵为单位阵从而存在可逆阵,使,E,也就是说,可逆幕等矩阵是单位矩阵致谢首先,感谢系里给我们开设“高等代数选讲”及“数学分析选讲”这两门专业选修课让我们对数学的基础课程有了更进一步的理解,更为我们有准备考研的同学创造了良好的条件在此,特别感谢(杨忠鹏)老师授课,使我们进一步打好高等代数的基础知识,进一步理清高等代数的结构本文主要根据自己的理解从理论上总结有关矩阵可对角化问题,缺少实例应用,而且还存在很多不足之处,望教师给予指出,我将努力更正也向所有给予本论文关心,支持及提供宝贵意见的教师,同学表示衷心的感谢参考文献《高等代数》第二版北京大学高等教育出版
[1]社《高等代数》姚慕生编著复旦大学复旦大学出版
[2]社《高等代数》张禾瑞、郝^新编第四版高等教育
[3]出版社《线性代数》居余马等编清华
[4]大学出版社《高等代数辅导及习题精解》滕加俊等编陕
[5]西师范大学出版社量空间的一组基其中一般不是的特征向量,但,可用上述的一组基线性表示,即■=—■其中\X■2用矩阵可表示为:。