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等差和等比数列名称等差数列等比数列定义an-an-1=dn≥2n≥2通项公式an=a1+n-1d=am+n-mdn∈N*an=a1·qn-1=am·qn-mn∈N*递推公式an-an-1=dan=an-1+dan=an-1q前n项和已知Sn求an中项aAb成等差数列,aAb成等比数列,性质1若项数m+n=p+q则am+an=ap+aq若项数m+n=p+q则aman=apaq性质2{an}为等差数列,公差d′=K2dSk=a1+a2+a3+……+akS2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+……+a2kS3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+……+a3k{an}为等比数列,公比q′=qkSk=a1+a2+a3+……+akS2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+……+a2kS3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+……+a3k性质3{an}{bn}为等差数列,SnTn为前n项和性质4|q|1则设法a-dda+da-3da-da+da+3d证明递推法an+1-an=d(d与n无关)a2-a1=d等差中项法2an=an+1+an-1;an2=an+1·an-1Sn__x求法
①an0an+10求出n再求Sn;
②配方Sn=an2+bn=an+求通项的方法
(1)转化法(转化成等差和等比)
1、已知数列{an}的各项为正数,满足2sn=3an-3求
(1)数列{an}的的通项公式;
2、已知数列{an}的各项和为sn,满足2sn-1sn+an=0求
(1)求证;
(2)数列{an}的的通项公式;
3、在{an}中,a1=2an+1=3an+
24、在{an}中,a1=1an+1=3an+2·4n
5、在{an}中,a1=2a2=5且an+2-3an+1+2an=0
(2)叠加和叠乘
1、在数列里,第n项及前n项和满足,求数列的通项公式
2、在数列里,求数列的通项公式
(3)构造法
1、在数列中,(I)设,求数列的通项公式;(II)求数列的前项和
2、在数列中,,其中.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和;
3、设数列的前项和为已知(I)设,证明数列是等比数列(II)求数列的通项公式
(4)已知求求an
1、设数列的前项的和,(Ⅰ)求首项与通项;(Ⅱ)设,,证明
2、数列的前项和为,已知(Ⅰ)写出与的递推关系式,并求关于的表达式;
3、数列{an}中,a1=5an=an-1+an-2+……+a2+a11求通项公式an;2求.
4、已知数列的前n项和(n为正整数)(Ⅰ)令,求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;(Ⅱ)令,求和的方法
(1)列项相消
1、设数列满足且(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)设
2、等比数列中,分别是下表第
一、
二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,求数列的前n项和.解(I)当时,不合题意;当时,当且仅当时,符合题意;当时,不合题意因此所以公式q=3,故(II)因为所以所以当n为偶数时,当n为奇数时,综上所述,
3、(天津2011)已知数列与满足,,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,证明是等比数列;(III)设证明.(I)解由可得又(II)证明对任意
①②③②—
③,得
④将
④代入
①,可得即又因此是等比数列.(III)证明由(II)可得,于是,对任意,有将以上各式相加,得即,此式当k=1时也成立.由
④式得从而所以,对任意,对于n=1,不等式显然成立.所以,对任意
(2)错位相减
1、已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2m-n2(Ⅰ)求a3,a5;(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1n∈N*,证明{bn}是等差数列;(Ⅲ)设cn=an+1-anqn-1q≠0,n∈N*,求数列{cn}的前n项和Sn.解1由题意,零m=2n-1可得a3=2a2-a1+2=6再令m=3n=1,可得a5=2a3-a1+8=202当n∈N*时,由已知以n+2代替m可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8于是[a2n+1+1-a2n+1-1]-a2n+1-a2n-1=8即bn+1-bn=8所以{bn}是公差为8的等差数列3由12解答可知{bn}是首项为b1=a3-a1=6公差为8的等差数列则bn=8n-2,即a2n+=1-a2n-1=8n-2另由已知令m=1可得an=-n-
12.那么an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n于是cn=2nqn-
1.当q=1时,Sn=2+4+6+……+2n=nn+1当q≠1时,Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn-
1.两边同乘以q,可得qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn.上述两式相减得1-qSn=21+q+q2+……+qn-1-2nqn=2·-2nqn=2·所以Sn=2·综上所述,Sn=等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.
(1)求r的值;
(2)当b=2时,记求数列的前项和
3、数列的通项,其前n项和为.1求;2求数列{}的前n项和.解:1由于故故2两式相减得故数学归纳法
1、在数列中,=1,,其中实数求的通项公式;
2、等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.
(1)求r的值;
(11)当b=2时,记证明对任意的,不等式成立
3、设函数.数列满足,.(Ⅰ)证明函数在区间是增函数;(Ⅱ)证明;证明(用数学归纳法)(i)当n=1时,,,由函数在区间是增函数,且函数在处连续,则在区间是增函数,,即成立;(ⅱ)假设当时,成立,即那么当时,由在区间是增函数,得.而,则,,也就是说当时,也成立;根据(ⅰ)、(ⅱ)可得对任意的正整数,恒成立.
4、数列Ⅰ求并求数列的通项公式;Ⅱ设证明当解:Ⅰ因为所以一般地,当时,=,即所以数列是首项为
1、公差为1的等差数列,因此当时,所以数列是首项为
2、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为Ⅱ由Ⅰ知,
①②①-
②得,所以要证明当时,成立,只需证明当时,成立.证法一1当n=6时,成立.2假设当时不等式成立,即则当n=k+1时,由
1、2所述,当n≥6时,.即当n≥6时,。