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小学数学以模型思想提高推理能力教学刍议数学思想是一种高阶思维方式,能够促进学生在数学课程中实现高质量学习,指引学生围绕具体的数学问题进行深度思考,强化对事物本质的认知,不断提高分析、解决数学问题的能力小学数学课堂应特别注重渗透数学思想与方法,让学生高质高效地开展数学推理思维活动,模型思想的渗透应以数学直观模型推动学生从“现象描述”过渡到“规律总结”,强化对数学知识的理解和内化,在持续提高学生推理能力的过程中不断促进学生高阶思维的形成与发展
一、数学模型思想与推理能力的内涵
(一)数学模型思想的内涵作为一种高阶数学思想方法,模型思想主要是将具有抽象性特点的数学问题情境以直观简洁的方式进行呈现,并尝试应用与该情况类似的数学模型有效解决实际问题的一种方式与方法在数学课程中要实现模型思想的应用,教师需要指导学生对数学模型具有一定的理论认知和方法掌握,且能在不同的问题情境中熟练应用
(二)推理能力的内涵学生开展数学问题解决时,依据数学问题情境反馈的信息,运用已有知识经验综合对数学问题进行思维分析与探究,这一过程包括演绎推理、归纳推理和类比推理等思维活动推理能力是数学问题解决中极为重要的基本能力,将指导学生基于逻辑和规律对相关事物或现象开展合乎情理的结论猜想,支撑着高阶思维活动开展
二、小学数学以模型思想提高学生推理能力的教学策略数学模型思想与归纳推理思想均属于数学学科的基本思想方法,小学数学课程教学应重视数学思想方法有机渗透,需要突出模型思想与数学推理的深度融合,引导学生进入数学模型中发现数学问题中的复杂关系,切实全面提高学生解决复杂问题的综合素养
(一)结合学习情境发挥想象,在联想建模中开展推理学习模型思想将依靠联想能力而形成,教师需要结合具体的教学内容,找准教学切入点引发学生展开丰富的想象,在联想的过程中深入分析数学理论知识,找到问题关键点,探究出具体的解决方法通过这一过程帮助学生建立起科学而合理的数学模型,在联想与建模的实践过程中实现推理能力的培养例如,在“分数的简单计算”教学时,可引导学生结合生活经验对“分数”的结构“分子”和“分母”发挥想象,然后展开计算推理,促使学生建立起完善的数学模型,从而强化其对分数计算原理的掌握如在题目计算过程中,可指引学生围绕题目的特点发挥想象,将分数的分子、分母想象成生活中的具体人物,将两个分数之间的加减关系想象成生活中的某一种场景如将分子当作“孩子”,将分母当作“父母的家”,而“+”可表示“孩子要回到父母身边”,如果是“-”则可代表“孩子要离开父母的家”以这种生活化的场景帮助学生理解分数加减的内涵,学生可结合题目的要求发挥丰富的想象,再开始计算和推理,从另一个角度认识分子与分母的内涵和本质将数学信息与生活信息相连接,以生活符号代替数学信息的教学设计,不仅增强课堂教学的趣味性,还能通过联想建模的方式实现推理能力的培养
(二)直观模型表达抽象信息,在推理计算中掌握基本算理数学建模的过程需要通过格式化的语言描述抽象的数学知识,是一个概括表达的过程,通过简化的数学语言结构以直观、清晰的方式表示烦琐的数学关系,将更有利于学生的理解小学数学教师应有意识地让学生用模型语言来理解和表达数学问题,将各类教学知识点进行结构化处理,帮助学生更好地完成数学推理,且能强化学生对数学知识内涵的深化认知和理解,让学生在具体的问题中尝试应用简单的数学模型解决实际问题,借助实践应用强化推理能力培养例如,教学“有余数的除法”时,让学生对“34除以7等于4余6”进行算式表达,然后提问下列选项中哪些可以帮助理解“34÷7=4……6”题目的意思(多选)a.7×4=28,34-28=6b.34÷4=7……6c.34-7-7-7-7=6本道题目包含了抽象、推理、模型等多个维度素养的考查,三个选项中,a选项和c选项为正确答案,对题目作出了过程性解释b选项容易被误判为正确,但仔细分析发现“余数大于除数”,因此b选项是错误选项在该题目中,教师可指导学生围绕题目展开想象,在推理和计算的过程中明白“有余数除法”的基本算理,达成新旧知识顺利衔接,有效掌握除法的相关知识,从本质上理解“余数除法”的内涵
(三)图形情景描述知识要点,在猜想验证中得出正确结论用直观化的图形模型来表达抽象数学内在关系,这较为符合小学生认知事物的心理在课程教学中,教师可运用图形模型的方式,指导学生结合直观图形加强对数学问题的理解和推理,进一步强化学生对数学问题本质的理解,提高数学推理能力在具体的教学实践中,教师可尝试应用合理的图形呈现复杂的数学知识,鼓励学生围绕主题进行合理的猜想,在对相关图形进行操作、观察和对比的基础上完成推理,提高课程的教学实效例如,在小学数学课程“长方形的特征”教学过程中,由于小学生是以直观思维为主,他们要掌握长方形的特征需要建立在直观观察的基础之上为此,教师可引导学生在直观的情境中抽取出长方形的具体特征,比如在教学中通过多媒体方式呈现鸟巢的情境,指导学生观察鸟巢侧面的形状,帮助学生在立体图形中抓取出侧面平面图,此时就能获得长方形的数学模型,学生借此可以较为顺利地推理出长方形的特点,即边是直线,对边是相等的,邻边是不等的然后,教师根据不同学生的猜想引导学生深入思考,从“边”拓展到“角”,并引导学生通过工具验证之前的猜想,得出正确结论,明确“长方形的特征”在整个学习过程中,学生通过观察抽取出图形,再对图形进行猜想和验证,将直观获取的长方形特征进行有效的证明,最终得出模型的结论这就是推理的过程,让学生经历了复杂的思维,从猜想、验证到梳理、总结,动手实践的过程中更能感受推理的乐趣,同时借助推理得出的模型发展推理能力,提高学生的问题解决能力
(四)主题教学融入模型思想,在具体操作中形成模型认知不断的实践应用,才能切实达到深化知识理解的学习目标,深化理解后再重复进行实践应用,从而扎实推动数学能力提高主题式数学知识应用,有助于小学生的理解,教师可注重设计主题式问题,让学生在解决此类问题的过程中运用模型思想,学生借助“模型”可以深化理解主题所表达的数学问题内在关系,有效培养其推理能力例如,教学“统计与概率”时,可设计主题式问题各学习小组运用条形图对本班同学的校服尺码进行统计和估算学生在任务型主题的驱动下对班级同学身高进行大致的估算,然后再依据少部分同学具体身高开展推理,最后制定各个层次身高的范围,呈现到统计表中再形成条形图在这一主题实践中,学生小组内分工明确,有的收集,有的整理,有的描述和分析,全过程体验“统计与概率”知识的应用,这不仅能掌握条形统计图的基本知识,还能够从不同的条形统计图中观察相关数据,准确提炼出统计图所表示的相关信息,在推理和计算的过程中提高模型认知能力,养成有序的推理习惯
(五)结合生活设计开放习题,在说理练习中抽象数量关系小学数学课堂教学中组织学生参与开放性练习活动能够有助于教学内容的深入理解和知识内化,提高学生对知识的掌握程度设计开放性练习题,应有意识地融入模型思想,让学生能够在熟悉的生活情境中发挥自主性,从不同层面和角度参与练习,在严密的推理和思考中发现题目中所包含的数量关系,有效提高课程教学的综合实效例如,在“时间、速度、路程”内容教学中,教师可设计开放式练习题,以班级同学参加学校田径比赛为切入点,设计开放式题目请根据表格中(图表1)不同学生运动员的跑步成绩选择一名学生代表本班参与全校的田径比赛,并说明理由借助解决这一开放性数学问题,让学生在数据推理、综合运算和模型建立过程中深化理解时间、速度、路程间的关系,有效培养其推理能力表
11.推理学生借助统计表呈现的数据信息,明白了甲、乙运动员跑相同的路程,所用的时间不一样,甲用时更少则甲运动员跑得较快在乙、丙两名运动员的对比中,学生通过推理发现,在同样的4秒时间内,丙运动员跑步的距离更远,因此丙运动员的跑步速度更快在这一过程中,学生通过推理快速得出甲乙、乙丙两组运动员的跑步速度,通过“相同时间”和“相同路程”展开推理,对结论进行猜想
2.计算甲运动员和丙运动员由于跑步时间和路程均不同,此时可通过线段图(如图1)表示两者的关系,引导学生通过本课教学内容尝试解决问题学生通过探究发现,甲、丙运动员需要通过计算才能进行比较,甲运动员用“路程÷时间”能得出每秒跑步7米,丙运动员通过“路程÷时间”得出跑步速度为6米,两相比较发现“甲运动员跑步速度更快”然后,引导学生思考“7米”和“6米”分别表示什么内涵,学生得出“表示运动员的跑步速度”,且可通过线段图绘制得出甲运动员在一秒时间内跑步距离更长最后得出甲跑得最快,应让甲代表班级参加全校的比赛
3.建模基于前面两组分析,教师再引导学生思考,在计算和画图解题过程中都比较两个运动员在“每一秒钟内的跑步路程”,这在数学上被称为“速度”如果两个运动员跑步的路程和时间都不相同,快慢就需要通过速度进行比较得出速度的数据,可运用“路程÷时间”来获得,进而实现思维模型的顺利构建本道题目中设计了不同的比较形式,包括相同时间、相同路程以及时间和路程均不相同,学生在“比一比”中建构起相关模型,从而完成抽象、概括的过程,让学生明确“路程、时间、速度”的数量关系与此同时,学生在给“半成品”的线段图进行加工时发现,对比的标准是运动员“每秒钟的跑步路程”,又能强化对“速度”的理解,在此基础上建立起速度模型,提高学生的推理能力
(六)引导学生开展逆向思考,在反向推理中找准解题关键逆向思考,即是对数学问题解决从反向进行逆推,学生发挥想象从反向建立数学模型,全过程综合运用学生的推理素养,也较好地锻炼和培养了学生的数学推理能力例如,在“修路问题”的应用题中,题目为“一条公路分为两个月修建,第一个月修了全长的1/3还多了18米,第二个月修的比第一个月剩余的1/4还多12米,此时整条道路还剩下186米的路程没有修,请问这条公路的全长是多少米”此题是典型需要逆向解决的问题,顺向思维较为麻烦,如果通过逆向思考则能迎刃而解首先,根据题目已知条件可通过算式求出第一周修路后的余下距离然后用求出的答案“?”通过算式“(?+18÷”求出最终答案小学阶段学生以直观顺势思维为主,在高阶思维的培养中,教师应当有意识地引导学生开展逆向思考,能够在顺向思考遇到阻碍时及时调整思考方向,由后向前推进,找出解题关键点
三、结语总之,小学生开展数学学习须深入掌握和灵活运用模型思想,这种重要数学思想方法对学生后续的数学学习发展十分重要鉴于推理活动将贯穿于数学课程的全过程,小学数学教学中,教师应抓住数学核心素养各方面培养来设计、实施融入模型思想的问题,运用一定的情境激发学生想象,通过直观模型表达抽象信息,促使学生通过严密的推理活动,深化理解所学习数学知识内容,同时深化培养和提高学生的数学推理能力。